Rejeitar a hipótese usando valor-p é equivalente à hipótese que não pertence ao intervalo de confiança?

Embora derivasse formalmente o intervalo de confiança de uma estimativa, acabei com uma fórmula que se assemelha muito à maneira como o valor de é calculado.$p$

Assim, a pergunta: eles são formalmente equivalentes? Ou seja, está rejeitando uma hipótese com um valor crítico equivalente a não pertence ao intervalo de confiança com valor crítico ?$H_0 = 0$$\alpha$$0$$\alpha$

Sim e não.

Primeiro o "sim"

O que você observou é que, quando um teste e um intervalo de confiança são baseados na mesma estatística, há uma equivalência entre eles: podemos interpretar o valor- como o menor valor de para o qual o valor nulo do parâmetro seria incluído no intervalo de confiança .α 1 - $p$$\alpha$$1-\alpha$

Seja um parâmetro desconhecido no espaço de parâmetros e deixe a amostra é uma realização da variável aleatória . Para simplificar, defina um intervalo de confiança como um intervalo aleatório, de modo que sua probabilidade de cobertura (Você também pode considerar intervalos mais gerais, nos quais a probabilidade de cobertura é limitada por ou aproximadamente igual a . O raciocínio é análogo.)Θ ⊆ R x = ( x 1 , … , x n ) ∈ X n ⊆ R n X = ( X 1 , … , X n ) I α ( X ) P θ ( θ ∈ I α ( X ) ) = 1 - $\theta$$\Theta\subseteq\mathbb{R}$$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathcal{X}^ n\subseteq\mathbb{R}^n$$\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)$$I_\alpha(\mathbf{X})$ 1 -

$$P_\theta(\theta\in I_\alpha(\mathbf{X}))= 1-\alpha\qquad\mbox{for all }\alpha\in(0,1).$$ $1-\alpha$

Considere um teste bilateral da hipótese ponto nulo contra a alternativa . Vamos denotar o valor p do teste. Para qualquer , é rejeitado no nível if . A região de rejeição level é o conjunto de que leva à rejeição de : H 1 ( θ 0 ) : θ ≠ θ 0 λ ( θ 0 , x ) α ∈ ( 0 , 1 ) H 0 ( θ 0 ) α λ ( θ 0 , x ) ≤ α α x H 0 ( θ 0 ) $H_0(\theta_0): \theta=\theta_0$$H_1(\theta_0): \theta\neq \theta_0$$\lambda(\theta_0,\mathbf{x})$$\alpha\in(0,1)$$H_0(\theta_0)$$\alpha$$\lambda(\theta_0,x)\leq\alpha$$\alpha$ $\mathbf{x}$$H_0(\theta_0)$

$$R_\alpha(\theta_0)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n: \lambda(\theta_0,\mathbf{x})\leq\alpha\}.$$

Agora, considere uma família de testes frente e verso com valores-p , para . Para essa família, podemos definir uma região de rejeição invertidaθ ∈ q Q α ( x ) = { θ ∈ q : λ ( θ , x ) ≤ α } $\lambda(\theta,\mathbf{x})$$\theta\in\Theta$

$$Q_\alpha(\mathbf{x})=\{\theta\in\Theta: \lambda(\theta,\mathbf{x})\leq\alpha\}.$$

Para qualquer fixo , é rejeitado se , o que acontece se e somente se , isto é, Se o teste for baseado em uma estatística de teste com uma distribuição nula absolutamente contínua absolutamente especificada, em . Então Como esta equação vale para qualquerH 0 ( θ 0 ) x ∈ R α ( θ 0 ) θ 0 ∈ Q α ( x ) x ∈ R α ( θ 0 ) ⇔ θ 0 ∈ Q α ( x ) . λ ( θ 0 , X ) ∼ U ( 0 , 1 ) H 0 ( θ $\theta_0$$H_0(\theta_0)$$\mathbf{x}\in R_\alpha(\theta_0)$$\theta_0\in Q_\alpha(\mathbf{x})$

$$\mathbf{x}\in R_\alpha(\theta_0) \Leftrightarrow \theta_0\in Q_\alpha(\mathbf{x}).$$ $\lambda(\theta_0,\mathbf{X})\sim \mbox{U}(0,1)$P θ 0 ( X ∈ R α ( θ 0 ) ) = P θ 0 ( λ ( θ 0 , X ) ≤ α ) = α . θ 0 ∈ Θ P θ 0 ( X ∈ R α ( θ 0 ) ) = P θ 0 ( θ 0 ∈ Q α ( $H_0(\theta_0)$ $$P_{\theta_0}(\mathbf{X}\in R_\alpha(\theta_0))=P_{\theta_0}(\lambda(\theta_0,\mathbf{X})\leq\alpha)=\alpha.$$ $\theta_0\in\Theta$e como a equação acima implica que segue que o conjunto aleatório sempre cobre o parâmetro verdadeiro com probabilidade . Consequentemente, deixando denotar o complemento de , para todos temos significando que o complemento da região de rejeição invertida é um intervalo de confiança de para . $$P_{\theta_0}(\mathbf{X}\in R_\alpha(\theta_0))=P_{\theta_0}(\theta_0\in Q_\alpha(\mathbf{X})),$$ $Q_\alpha(\mathbf{x})$$\theta_0$$\alpha$$Q_\alpha^C(\mathbf{x})$$Q_\alpha(\mathbf{x})$$\theta_0\in\Theta$ $$P_{\theta_0}(\theta_0\in Q_\alpha^C(\mathbf{X}))=1-\alpha,$$ $1-\alpha$$\theta$

Uma ilustração é fornecida abaixo, mostrando regiões de rejeição e intervalos de confiança correspondentes ao teste para uma média normal, para diferentes médias nulas e diferentes amostras , com . será rejeitado se estiver na região cinza claro sombreada. É mostrada em cinza escuro a região de rejeição e o intervalo de confiança . $z$$\theta$$\bar{x}$$\sigma=1$$H_0(\theta)$$(\bar{x},\theta)$$R_{0.05}(-0.9)=(-\infty,-1.52)\cup(-0.281,\infty)$$I_{0.05}(1/2)=Q_{0.05}^C(1/2)=(-0.120,1.120)$

(Muito disso é retirado da minha tese de doutorado .)

Agora para o "não"

Acima, descrevi a maneira padrão de construir intervalos de confiança. Nesta abordagem, usamos algumas estatísticas relacionadas ao parâmetro desconhecido para construir o intervalo. Há também intervalos baseados em algoritmos de minimização, que procuram minimizar o comprimento da condição de intervalo no valor de . Geralmente, esses intervalos não correspondem a um teste.$\theta$$X$

Esse fenômeno tem a ver com problemas relacionados a esses intervalos não serem aninhados, o que significa que o intervalo de 94% pode ser menor que o intervalo de 95%. Para mais informações, consulte a Seção 2.5 deste meu recente artigo (a ser exibido em Bernoulli).

E um segundo "não"

Em alguns problemas, o intervalo de confiança padrão não se baseia na mesma estatística que o teste padrão (conforme discutido por Michael Fay neste artigo ). Nesses casos, os intervalos de confiança e os testes podem não fornecer os mesmos resultados. Por exemplo, pode ser rejeitado pelo teste, mesmo que 0 esteja incluído no intervalo de confiança. Isso não contradiz o "sim" acima, pois diferentes estatísticas são usadas.$\theta_0=0$

E às vezes "sim" não é uma coisa boa

Como apontado por f coppens em um comentário, algumas vezes intervalos e testes têm objetivos um tanto conflitantes. Queremos intervalos curtos e testes com alta potência, mas o intervalo mais curto nem sempre corresponde ao teste com maior potência. Para alguns exemplos disso, consulte este artigo (distribuição normal multivariada), ou esta (distribuição exponencial), ou a Seção 4 da minha tese .

Os bayesianos também podem dizer sim e não

Alguns anos atrás, postei aqui uma pergunta sobre se existe uma equivalência de intervalo de teste também nas estatísticas bayesianas. A resposta curta é que, usando o teste de hipóteses bayesiano padrão, a resposta é "não". Ao reformular um pouco o problema de teste, a resposta pode ser "sim". (Minhas tentativas de responder minha própria pergunta acabaram se transformando em um artigo !)

Ao analisar um único parâmetro, é possível que um teste sobre o valor do parâmetro e o intervalo de confiança "incompatível", dependendo de como eles são construídos. Em particular, um teste de hipótese é um teste de nível , se rejeitar a hipótese nula uma proporção do tempo em que a hipótese nula for verdadeira. Por esse motivo, pode-se, por exemplo, usar estimativas de parâmetros do modelo (por exemplo, a variação) que são válidas apenas sob a hipótese nula. Se alguém tentasse construir um IC invertendo esse teste, a cobertura pode não estar totalmente correta sob a hipótese alternativa. Por esse motivo, normalmente se constrói um intervalo de confiança de maneira diferente, de modo que a cobertura também esteja logo abaixo da alternativa, o que pode levar a uma incompatibilidade (geralmente muito pequena).≤ $\alpha$$\leq \alpha$