Interpretar coeficientes de regressão após várias diferenças

Existem poucas explicações que descrevem como interpretar os coeficientes de regressão linear após diferenciar uma série temporal (para eliminar uma raiz unitária). É tão simples que não há necessidade de declarar formalmente?

(Estou ciente dessa pergunta , mas não tinha certeza de quão geral foi sua resposta).

Digamos que estamos interessados no modelo onde é possivelmente ARMA (p, q). São os , , ... que são de interesse. Especificamente, a interpretação em termos de "uma alteração de 1 unidade em resulta em uma alteração média em de " para $Y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1t}+\beta_{2}X_{2t} + +...+\beta_{p}X_{pt}+ \delta_{t}$ $\delta_{t}$ $\beta_{1}$ $\beta_{2}$ $\beta_{p}$ $X_{i}$ $Y_{t}$ $\beta_{i}$ $i = 1...p.$

Agora, digamos que precisamos diferenciar devido à suspeita de não estacionariedade de uma raiz de unidade (por exemplo, teste ADF). Precisamos também diferenciar da mesma maneira, cada um dos . $Y_{t}$ $X_{it}$

Qual é a interpretação do se: $\beta_{i}$

A primeira diferença é tirada de e cada um dos ? $Y'_{t}$ $Y_{t}$ $X_{it}$
A segunda diferença (diferença da diferença) ( ) é tomada de e cada um dos ? $Y''_{t}$ $Y_{t}$ $X_{it}$
Uma diferença sazonal (por exemplo $(1-B^{12})$ para dados mensais) é obtida de $Y_{t}$ e cada um dos $X_{it}$ ?

EDIT 1

Eu encontrei um texto que menciona diferenças e interpretação de coeficientes e soa muito semelhante à questão vinculada. Isto é de Alan Pankratz Forecasting with Dynamic Regression, páginas 119-120:

— B_Miner
fonte

Posso assumir que as séries temporais são mensais? Que Y e X são transformações logarítmicas de variáveis econômicas?

A questão é mais sobre interpretação geral e se várias formas de diferenciação, talvez com erros de ARMA, alteram a interpretação da regressão indiferenciada. Então, não, não registrado :)

— B_Miner

Sim, mas a interpretação pode ser tão simples quanto é o aumento no crescimento de para um aumento unitário no crescimento de . Onde 'crescimento' é o crescimento mensal da sua pergunta e o 'crescimento anual' da sua pergunta. Crescimento é o crescimento absoluto de y, mas se y é a transformação logarítmica de então é o crescimento relativo de z. É esse tipo de interpretação que você está pedindo?

β_{1}

$\beta_1$

y

$y$

x_{1}

$x_1$

z

$z$

Este comentário aumenta minha confusão sobre o assunto. Eu encontro exemplos em que a interpretação não muda porque os betas permanecem inalterados após a diferenciação, mas você está sugerindo (eu acho) que é preciso usar a palavra crescimento que implica (eu acho) que a interpretação muda para os dados diferenciados ( mudança em Y, mudança em X).

— B_Miner 5/09/2015

Resposta um pouco relacionada aqui .

— Richard Hardy

Respostas:

Vamos dar um exemplo com uma variável independente, porque é mais fácil digitar.

Quando você começa de , o mesmo vale para . $y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $y_{t-1}=\beta_0 + \beta_1 x_{t-1}$

Portanto, se subtrair os dois, recebo . Por conseguinte, a interpretação de coeficiente que não mudar, é o mesmo em cada uma destas equações. $\Delta y= \beta_1 \Delta x$ $\beta_1$ $\beta_1$

Mas a interpretação da equação não é a mesma que a interpretação da equação . Isso é o que eu quero dizer. $y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $\Delta y= \beta_1 \Delta x$

Então é a mudança de para uma mudança de unidade em mas também é a mudança no crescimento de para uma mudança de unidade no crescimento de . $\beta_1$ $y$ $x$ $y$ $x$

O motivo da diferenciação é 'técnico': se as séries não são estacionárias, não posso estimar com OLS. Se as séries diferenciadas são estacionárias, posso usar a estimativa de da equação como uma estimativa para na equação , porque é o mesmo . $y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$ $\Delta y= \beta_1 \Delta x$ $\beta_1$ $y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$

Portanto, a diferenciação é um truque 'técnico' para encontrar uma estimativa de em quando as séries não são estacionárias. O truque utiliza o fato de que o mesmo aparece na equação diferenciada. $\beta_1$ $y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$

Obviamente, isso não é diferente se houver mais de uma variável independente.

Nota: tudo isso é uma conseqüência da linearidade do modelo, se então , portanto é ao mesmo tempo a mudança de para uma unidade mudança em mas também a mudança no crescimento de y para uma unidade de mudança no crescimento de , é o mesmo . $y=\alpha x + \beta$ $\Delta y = \alpha \Delta x$ $\alpha$ $y$ $x$ $x$ $\alpha$

Portanto, a interpretação é nos dois sentidos. Mas o ponto principal é que, se houver diferenciação (qualquer um dos três na minha pergunta ou combinações dos mesmos), o beta indiferenciado original ainda será estimado (portanto, a questão de interesse original da pesquisa ainda estará disponível). Corrigir? Isso ainda acontece se houver erros de Arma?

— B_Miner

Bem, se você estimar o partir da equação diferenciada, esse estimado também é uma estimativa para o na equação não diferenciada (porque é o mesmo ). O ponto é que, na equação para a qual você faz a estimativa, as séries devem ser estacionárias, então tudo está bem (caso contrário, você não obtém estimadores com propriedades desejáveis, como imparcialidade). Obviamente, uma desvantagem é que você não pode estimar dessa maneira; portanto, se desejar uma estimativa para será necessário analisar a co-integração.

β_{1}

$\beta_1$

{\hat{β}}_{1}

$\hat{\beta}_1$

β_{1}

$\beta_1$

β_{1}

$\beta_1$

β_{0}

$\beta_0$

β_{0}

$\beta_0$

Uma interceptação raramente é interessante, embora pareça, mais importante é o B1 para a BP, que são os coeficientes das variáveis de interesse contínuas ou fictícias. E só para esclarecer, nada muda a esse respeito se os erros não estiverem presentes, mas usamos erros ARMA? Eu acho que é preciso considerar que, na interpretação, com ou sem diferenças corretas (como o "todo o resto sendo igual" inclui valores defasados (com RA) de y sendo controlados)?

— B_Miner 5/09

Os erros ARMA não alteram nada na interpretação. A única questão técnica é que, após a diferenciação, você precisa ter séries estacionárias; a estimativa de é enviesada; portanto, se você tiver erros ARMA, mas depois da diferenciação, você obtém séries estacionárias, na minha opinião tudo está bem.

β_{1}

$\beta_1$

Para diferenciação sazonal, você também obtém o mesmo na equação diferenciada e na equação 'original', para que tudo permaneça válido. De fato, faça o que fizer, desde que seja possível mostrar que, após as manipulações, você tem o mesmo o raciocínio permanece válido.

β_{1}

$\beta_1$

β_{1}

$\beta_1$

Pegue a Função de Transferência final e expresse-a novamente como uma equação pura do lado direito. Neste formulário, será um PDL ou ADL. A interpretação seguirá como de costume. Eu implementei essa opção na AUTOBOX e a chamei de lado DIREITO. Se você postar um conjunto de dados e o modelo que deseja usar, será um prazer publicar os resultados.

EDITADO: PARA APRESENTAR UM EXEMPLO ILUSTRATIVO PARA TESTAR A HIPÓTESE DE IGUAL COEFICIENTES:

Peguei o conjunto de dados GASX (X primeiro e depois Y) do texto Box-Jenklins disponível aqui http://www.autobox.com/stack/GASX.ASC e estimei uma Função de transferência nas séries indiferenciadas e obtive

Eu então introduzi a diferenciação simples em Y e X e obtive . A hipótese de que os coeficientes são os mesmos é rejeitada. Os coeficientes são semelhantes, mas definitivamente não são os mesmos. Tentei então introduzir um coeficiente de MA (próximo a 1.) para concluir o exercício algébrico de multiplicar por [1-B], mas isso também não reproduzia os resultados não diferenciados.

Em resumo: a resposta é que elas são diferentes, mas isso pode ser devido ao termo constante omitido no caso não diferenciado.

Decidi simular duas séries de ruído branco (X1 e Y1) e estimar um modelo OLS para elas sem um termo constante e obtido. Em seguida, integrei as séries X1 e Y1 de nariz branco e obtive duas novas séries (X2 e Y2). A seguir, é apresentado o resultado de um modelo OLS para X2 AND Y2 [ insira a descrição da imagem aqui ] [4] O coeficiente de regressão resultante é quase idêntico (pequena variação devido a menos uma observação no estudo X2, Y2. Assim, posso concluir que o caso está comprovado (ou não rejeitado) que os coeficientes de regressão são comparáveis. Note que, quando introduzi uma constante no (X1 versus Y1), o coeficiente de regressão não era o mesmo.Parentemente, existe um requisito de que nenhuma constante deve ser incorporada no caso base (não diferenciado). os resultados concordam com @f coppens.

— IrishStat
fonte

Não sigo - função de transferência? Você pode mostrar o que você quer dizer?

— B_Miner

Uma função de transferência geral assume a forma: Yt = μ + [(ω0 −1ω1B1 −.....− ωsBs) / 1 −1δ1B1 −... δrBr)] Xt − b + et onde et pode ter alguma estrutura de arima

— IrishStat

Entendo por sua resposta que a interpretação do realmente muda com a diferença? Não sei como construir uma função de transferência a partir do que tenho na minha pergunta.

β_{i}

$\beta_{i}$

— B_Miner

A interpretação βi quando nenhuma diferenciação está em efeito é que o nível de Y é afetado enquanto que, se houver diferenciação, a mudança em Y é afetada.

— precisa saber é o seguinte

Veja o link na minha pergunta. Parece dizer aqui que a interpretação para um modelo diferenciado é exatamente a mesma que os níveis. Você está sugerindo que esse não é o caso? Estou confuso com o que parece ser diferenças (sem trocadilhos) nas respostas.

— B_Miner