Devo executar regressões separadas para cada comunidade ou a comunidade pode simplesmente ser uma variável de controle em um modelo agregado?

Estou executando um modelo OLS com uma variável de índice de ativos contínua como o DV. Meus dados são agregados de três comunidades semelhantes em estreita proximidade geográfica entre si. Apesar disso, achei importante usar a comunidade como uma variável de controle. Como se vê, a comunidade é significativa no nível de 1% (t-score de -4,52). A comunidade é uma variável nominal / categórica codificada como 1,2,3 para 1 de 3 comunidades diferentes.

Minha pergunta é se esse alto grau de significância significa que eu deveria estar fazendo regressões nas comunidades individualmente, e não como uma agregação. Caso contrário, o uso da comunidade como variável de controle está essencialmente fazendo isso?

A pergunta sugere uma comparação de três modelos relacionados. Para tornar a comparação clara, seja a variável dependente, seja o código da comunidade atual e defina e como indicadores das comunidades 1 e 2, respectivamente. (Isso significa que para a comunidade 1 e para as comunidades 2 e 3; para a comunidade 2 e para as comunidades 1 e 3.)X ∈ { 1 , 2 , 3 } X 1 X 2 X 1 = 1 X 1 = 0 X 2 = 1 X 2 = $Y$$X \in \{1,2,3\}$$X_1$$X_2$$X_1=1$$X_1=0$$X_2=1$$X_2=0$

A análise atual pode ser uma das seguintes:

$$Y = \alpha + \beta X + \varepsilon\quad\text{(first model)}$$

ou

$$Y = \alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \varepsilon\quad\text{(second model)}.$$

Nos dois casos, representa um conjunto de variáveis ​​aleatórias independentes distribuídas de forma idêntica e com expectativa zero. O segundo modelo provavelmente é o pretendido, mas o primeiro modelo será aquele que se encaixará na codificação descrita na pergunta.$\varepsilon$

A saída da regressão OLS é um conjunto de parâmetros ajustados (indicados com "chapéus" em seus símbolos), juntamente com uma estimativa da variação comum dos erros. No primeiro modelo, há um teste t para comparar com . No segundo modelo, existem dois testes t: um para comparar com e outro para comparar com . Como a pergunta relata apenas um teste t, vamos começar examinando o primeiro modelo. 0 ^ β 1 0 ^ β 2$\hat{\beta}$$0$$\hat{\beta_1}$$0$$\hat{\beta_2}$$0$

Concluindo que é significativamente diferente de , podemos fazer uma estimativa de = = para qualquer comunidade:$\hat{\beta}$$0$$Y$$\mathbb{E}[\alpha + \beta X + \varepsilon]$$\alpha + \beta X$

para a comunidade 1, e a estimativa é igual a ;$X=1$$\alpha+\beta$

para a comunidade 2, e a estimativa é igual a ; e$X=2$$\alpha+2\beta$

para a comunidade 3, e a estimativa é igual a . $X=3$$\alpha+3\beta$

Em particular, o primeiro modelo força os efeitos da comunidade em progressão aritmética. Se a codificação da comunidade é apenas uma maneira arbitrária de se diferenciar entre as comunidades, essa restrição interna é igualmente arbitrária e provavelmente errada.

É instrutivo realizar a mesma análise detalhada das previsões do segundo modelo:

Para a comunidade 1, em que e , o valor previsto de é igual a . Especificamente,$X_1=1$$X_2=0$$Y$$\alpha + \beta_1$

$$Y(\text{community 1}) = \alpha + \beta_1 + \varepsilon.$$

Para a comunidade 2, em que e , o valor previsto de é igual a . Especificamente,$X_1=0$$X_2=1$$Y$$\alpha+\beta_2$

$$Y(\text{community 2}) = \alpha + \beta_2 + \varepsilon.$$

Para a comunidade 3, em que , o valor previsto de é igual a . Especificamente,$X_1=X_2=0$$Y$$\alpha$

$$Y(\text{community 3}) = \alpha + \varepsilon.$$

Os três parâmetros efetivamente dão ao segundo modelo total liberdade para estimar os três valores esperados de separadamente. $Y$ Os testes t avaliam se (1) ; isto é, se existe uma diferença entre as comunidades 1 e 3; e (2) ; isto é, se existe uma diferença entre as comunidades 2 e 3. Além disso, pode-se testar o "contraste" com um teste t para verificar se as comunidades 2 e 1 diferem: isso funciona porque a diferença é = .$\beta_1=0$$\beta_2=0$$\beta_2-\beta_1$$(\alpha + \beta_2) - (\alpha + \beta_1)$$\beta_2-\beta_1$

Agora podemos avaliar o efeito de três regressões separadas. Eles seriam

$$Y(\text{community 1}) = \alpha_1 + \varepsilon_1,$$

$$Y(\text{community 2}) = \alpha_2 + \varepsilon_2,$$

$$Y(\text{community 3}) = \alpha_3 + \varepsilon_3.$$

Comparando isso com o segundo modelo, vemos que deve concordar com , deve concordar com e deve concordar com . Portanto, em termos de flexibilidade dos parâmetros de ajuste, ambos os modelos são igualmente bons. No entanto, as suposições neste modelo sobre os termos de erro são mais fracas. Todo o deve ser independente e distribuído de forma idêntica (iid); todo deve ser iid, e todo deve ser iid, mas nada é assumido sobre as relações estatísticas entre as regressões separadas. α + β 1 α 2 α + β 2 α 3 α ε 1 ε 2 ε $\alpha_1$$\alpha+\beta_1$$\alpha_2$$\alpha+\beta_2$$\alpha_3$$\alpha$$\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$\varepsilon_3$ Regressões separadas, portanto, permitem flexibilidade adicional:

• Mais importante ainda, a distribuição do podem diferir daquela do que pode ser diferente da do .ε 2 ε $\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$\varepsilon_3$

• Em algumas situações, o pode estar correlacionado com o . Nenhum desses modelos lida explicitamente com isso, mas o terceiro modelo (regressões separadas) pelo menos não será afetado adversamente por ele.ε $\varepsilon_i$$\varepsilon_j$

Essa flexibilidade adicional significa que os resultados do teste t para os parâmetros provavelmente diferem entre o segundo e o terceiro modelo. (Porém, não deve resultar em estimativas diferentes de parâmetros.)

Para verificar se são necessárias regressões separadas , faça o seguinte:

Encaixe o segundo modelo. Plote os resíduos contra a comunidade, por exemplo, como um conjunto de gráficos de caixas lado a lado ou um trio de histogramas ou até como três gráficos de probabilidade. Procure evidências de diferentes formas distributivas e, especialmente, de variações consideravelmente diferentes. Se essa evidência estiver ausente, o segundo modelo deve estar ok. Se estiver presente, são necessárias regressões separadas.

Quando os modelos são multivariados - ou seja, incluem outros fatores - é possível uma análise semelhante, com conclusões semelhantes (mas mais complicadas). Em geral, executar regressões separadas equivale a incluir todas as possíveis interações bidirecionais com a variável da comunidade (codificadas como no segundo modelo, não no primeiro) e permitir diferentes distribuições de erros para cada comunidade.

• seleção de modelo (IMHO) pode ser recomendada. Como os modelos complexos (inclinação separada) terão a penalidade mais forte, os modelos interpretáveis ​​mais concisos e fáceis serão "melhores".