Encontre a distribuição conjunta de e

Esta pergunta é da introdução à estatística matemática de Robert Hogg, 6ª versão, pergunta 7.6.7. O problema é :

Seja uma amostra aleatória do tamanho de uma distribuição com o pdf $n$
$f (x; θ) = (1 / θ) \exp (- x / θ) I_{(0, \infty)} (x)$ $f(x;\theta)=(1/\theta)\exp(-x/\theta)\mathbb{I}_{(0,\infty)}(x)$

Encontre o MLE e o MVUE de . $P(X \le 2)$

Eu sei como encontrar o MLE.

Penso que a ideia de encontrar o MVUE é usar Rao-Blackwell e Lehmann e Scheffe. Primeiro encontramos um estimador imparcial de que pode ser , e sabemos que a estatística suficiente. $P(X \le 2)$ $\mathbb{I}_{(0,2)}(X_1)$ $Y=\sum_{i=1}^n X_i$

Então será o MUVE. $\mathbb{E}[I_{(0,2)}(X_1)\mid Y]$

Para encontrar a expectativa, precisamos da distribuição conjunta de e $X_1$ $Y=\sum_{i=1}^n X_i$

Eu estou preso aqui.

O livro tem uma solução, mas eu não entendo a solução. A solução diz que vamos encontrar a distribuição conjunta de e mas primeiro deixando e o jacobiano é um, então integramos essas outras variáveis. $Z=X_1$ $Y$ $V=X_1+X_2$ $U=X_1+X_2+X_3+...$

Como é que o jacobiano é igual a um?

A resposta para a distribuição conjunta é
$g (z, y; θ) = \frac{(y - z)^{n - 2}}{(n - 2)! θ^{n}} e^{- y / θ}$ $g(z,y;\theta)=\frac{(y-z)^{n-2}}{(n-2)!\theta^n}e^{-y/\theta}$

Como conseguimos isso?

Atualização: Conforme sugerido por Xi'an (o livro sugeriu que a transformação é confusa), vamos fazer a transformação da seguinte maneira:

Deixei

\begin{aligned} Y_{1} & = X_{1}, \\ Y_{2} & = X_{1} + X_{2}, \\ Y_{3} & = X_{1} + X_{2} + X_{3}, \\ Y_{4} & = X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4}, \\ ⋮ \\ Y_{n} & = X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} + \dots + X_{n} \end{aligned}

$\begin{align} Y_1 & =X_1, \\Y_2 & =X_1+X_2,\\ Y_3 & =X_1+X_2+X_3, \\Y_4 & =X_1+X_2+X_3+X_4, \\ & \quad \vdots \\Y_n & =X_1+X_2+X_3+X_4+\cdots+X_n \end{align}$

então

\begin{aligned} X_{1} & = Y_{1}, \\ X_{2} & = Y_{2} - Y_{1}, \\ X_{3} & = Y_{3} - Y_{2}, \\ X_{4} & = Y_{4} - Y_{3}, \\ ⋮ \\ X_{n} & = Y_{n} - Y_{n - 1} \end{aligned}

$\begin{align} X_1 & =Y_1, \\ X_2 & =Y_2-Y_1,\\ X_3 & =Y_3-Y_2,\\X_4 & =Y_4-Y_3,\\ & \,\,\,\vdots \\ X_n & =Y_n-Y_{n-1} \end{align}$

e o jacobiano correspondente é:

| J | = | \begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{n}} \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{n}} \\ \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{n}} \end{matrix} | = \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & - 1 & 1 \end{array} = 1

$\left | J \right |=\begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} &\frac{\partial x_1}{\partial y_2} &\frac{\partial x_1}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_1}{\partial y_n} \\ \frac{\partial x_2}{\partial y_1} &\frac{\partial x_2}{\partial y_2} &\frac{\partial x_2}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_2}{\partial y_n} \\ \frac{\partial x_3}{\partial y_1} &\frac{\partial x_3}{\partial y_2} &\frac{\partial x_3}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_3}{\partial y_n} \\ \vdots&\vdots & \vdots & &\vdots \\ \frac{\partial x_n}{\partial y_1} &\frac{\partial x_n}{\partial y_2} &\frac{\partial x_n}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_n}{\partial y_n} \end{vmatrix}=\begin{array}{r} 1& 0 &0 & \cdots &0 &0 \\ -1& 1 & 0 & \cdots & 0&0\\ 0&-1 & 1 & \cdots &0 &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0&0 &0 & \cdots & -1&1 \end{array}=1$

Como são iid [ou ], a densidade da junta de é: $X_1,X_2,\ldots,X_n$ $\Gamma(1,\theta)$ $\mathcal{E}(1/\theta)$ $x_1,x_2,\ldots,x_n$

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \frac{1}{θ} \exp (- x_{1} / θ) \times \frac{1}{θ} \exp (- x_{2} / θ) \times \dots \times \frac{1}{θ} \exp (- x_{n} / θ) I_{x_{1} \geq 0} \dots I_{x_{n} \geq 0}

$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{1}{\theta}\exp(-x_1/\theta) \times\frac{1}{\theta} \exp(-x_2/\theta)\times \cdots\times\frac{1}{\theta}\exp(-x_n/\theta) \mathbb{I}_{x_1\ge 0} \cdots\mathbb{I}_{x_n\ge 0}$

Portanto, o pdf conjunto de é $(Y_1,Y_2,\ldots, Y_n)$

\begin{aligned} h (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) & = \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{1} / θ) \exp [- (y_{2} - y_{1}) / θ] \exp [- (y_{3} - y_{2}) / θ] \dots \exp [- (y_{n} - y_{n - 1}) / θ] | J | I_{y_{1} \geq 0} I_{y_{2} - y_{1} \geq 0} \dots I_{y_{n} - y_{n - 1} \geq 0} \\ = \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) I_{y_{1} \geq 0} I_{y_{2} \geq y_{1}} \dots I_{y_{n} \geq y_{n - 1}} \end{aligned}

$\begin{align*}h(y_1,y_2,\ldots,y_n)&=\frac{1}{\theta^n}\exp(-y_1/\theta)\exp[-(y_2-y_1)/\theta]\exp[-(y_3-y_2)/\theta]\cdots\exp[-(y_n-y_{n-1})/\theta]\left |J \right |\mathbb{I}_{y_1\ge 0}\mathbb{I}_{y_2-y_1\ge 0}\cdots\mathbb{I}_{y_n-y_{n-1} \ge 0}\\&=\frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\mathbb{I}_{y_1\ge 0} \mathbb{I}_{y_2\ge y_1}\cdots\mathbb{I}_{y_n\ge y_{n-1}}\end{align*}$

Em seguida, podemos integrar para obter o pdf conjunto e $y_2,y_3,\ldots,y_{n-1}$ $y_1$ $y_n$

Graças às sugestões de Xi'an, agora posso resolver o problema, darei cálculos detalhados abaixo

\begin{aligned} g (y_{1}, y_{n}) = & \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 2}}^{y_{n}} \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) d y_{n - 1} d y_{n - 2} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \\ \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 2}}^{y_{n}} d y_{n - 1} d y_{n - 2} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 4}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} (y_{n} - y_{n - 2}) d y_{n - 2} d y_{n - 3} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 5}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 4}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 3})^{2}}{2} d y_{n - 3} d y_{n - 4} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 6}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 5}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 4})^{3}}{2 \times 3} d y_{n - 4} d y_{n - 5} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 7}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 6}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 5})^{4}}{2 \times 3 \times 4} d y_{n - 5} d y_{n - 4} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \dots \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \frac{(y_{n} - y_{1})^{n - 2}}{(n - 2)!} \end{aligned}

$\begin{align} g(y_1,y_n) = {} &\int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-3}}^{y_n} \int_{y_{n-2}}^{y_n} \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)dy_{n-1}dy_{n-2} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\\ & \int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-3}}^{y_n}\int_{y_{n-2}}^{y_n} \, dy_{n-1}\,dy_{n-2}\cdots dy_3\,dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-4}}^{y_n}\int_{y_{n-3}}^{y_n}(y_n-y_{n-2})\,dy_{n-2}\,dy_{n-3}\cdots dy_3\,dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n} \int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-5}}^{y_n}\int_{y_{n-4}}^{y_n}\frac{(y_n-y_{n-3})^2}{2}dy_{n-3} \,dy_{n-4}\cdots dy_3 \, dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n} \exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n }\int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-6}}^{y_n} \int_{y_{n-5}}^{y_n} \frac{(y_n-y_{n-4})^3}{2 \times 3} \, dy_{n-4} \, dy_{n-5} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \frac{1}{\theta^n} \exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n} \int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-7}}^{y_n} \int_{y_{n-6}}^{y_n} \frac{(y_n-y_{n-5})^4}{2 \times 3 \times 4} \, dy_{n-5} \, dy_{n-4} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \cdots \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\frac{(y_n-y_1)^{n-2}}{(n-2)!} \end{align}$

Mude para a notação do livro, , obtemos $y=y_n, z=y_1$

g (z, y; θ) = \frac{(y - z)^{n - 2}}{θ^{n} (n - 2)!} e^{- y / θ} .

$g(z,y;\theta)=\frac{(y-z)^{n-2}}{\theta^n(n-2)!}e^{-y/\theta}.$

Isso resolve o problema.

— Norte profundo
fonte

Eu não entendo a noção de passar por mas a transformação de para tem um jacobiano, basta aplicar a definição de jacobiano.

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$

(x_{1}, . . ., x_{n})

$(x_1,...,x_n)$

(x_{1}, x_{1} + x_{2}, \dots, x_{1} + \dots + x_{n})

$(x_1,x_1+x_2,\ldots,x_1+\ldots+x_n)$

— Xi'an

@ Xi'an, obrigado. Eu tentei a transformação mas ainda não consigo obter a solução sugerida pelo livro

Y_{1} = X_{1}, Y_{2} = X_{1} + X_{2}, . . ., Y_{n} = X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}

$Y_1=X_1, Y_2=X_1+X_2,..., Y_n=X_1+X_2+...+X_n$

— Deep North

Você está quase lá: eu corrigi a derivação da densidade conjunta de adicionando as funções do indicador. Isso implica que os limites nas integrais de devem ser se você integrar primeiro, depois , então ... Isso fornecerá a você a falta.

(Y_{1}, \dots, Y_{n})

$(Y_1,\ldots,Y_n)$

y_{2}, \dots, y_{n - 1}

$y_2,\ldots,y_{n-1}$

\int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 2}}^{y_{n}}

$\int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-2}}^{y_n}$

y_{n - 1}

$y_{n-1}$

y - n - 2

$y-{n-2}$

(n - 2)!

$(n-2)!$

— Xian

O argumento de transformação funciona bem e é sempre útil, mas agora vou sugerir uma maneira alternativa de resolver esse problema que tem certa semelhança com o método que você usaria se as variáveis fossem discretas. Lembre-se de que a principal diferença é que, embora para uma variável aleatória discreta seja bem definida para um rv contínuo , , precisamos ter um pouco de cuidado. $X$ $P(X=x)$ $Y$ $P(Y=y)=0$

Vamos e agora estamos procurando a distribuição conjunta $S=\sum_{i=1}^n X_i$

f_{X_{1}, S} (x_{1}, s)

$f_{X_1, S} \left(x_1, s \right)$

que podemos aproximar com a probabilidade

\begin{aligned} f_{X_{1}, S} (x_{1}, s) & \approx P [x_{1} < X_{1} < x_{1} + Δ x_{1}, s < S < s + Δ s] \\ \approx P [x_{1} < X_{1} < x_{1} + Δ x_{1}, s - x_{1} < \sum_{i = 2}^{n} X_{i} < s - x_{1} + Δ s] \\ = P [x_{1} < X_{1} < x_{1} + Δ x_{1}] P [s - x_{1} < \sum_{i = 2}^{n} X_{i} < s - x_{1} + Δ s] \\ \approx \frac{1}{θ} \exp {- \frac{x_{1}}{θ}} \frac{{(s - x_{1})}^{n - 2} \exp {- \frac{s - x_{1}}{θ}}}{Γ (n - 1) θ^{n - 1}} \\ = \frac{{(s - x_{1})}^{n - 2}}{θ^{n} (n - 2)!} \exp {- \frac{s}{θ}} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X_1, S} \left(x_1, s \right) &\approx P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 , s<S<s+\Delta s \right] \\ &\approx P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 , s-x_1<\sum_{i=2}^n X_i<s-x_1+\Delta s \right] \\ &= P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 \right] P \left[ s-x_1<\sum_{i=2}^n X_i<s-x_1+\Delta s \right] \\ &\approx \frac{1}{\theta} \exp\left\{-\frac{x_1}{\theta}\right\} \frac{ \left(s-x_1\right)^{n-2} \exp\left\{-\frac{s-x_1}{\theta} \right\}}{\Gamma \left(n-1 \right) \theta^{n-1}} \\ &= \frac{\left(s-x_1\right)^{n-2}}{\theta^n \left(n-2\right)!} \exp\left\{-\frac{s}{\theta} \right\} \end{align}$

para . Observe que na quarta linha usamos a propriedade de aditividade da distribuição gama, da qual o exponencial é um caso especial. $0<x_1<s<\infty$

Se você ajustar a notação, obteremos o mesmo aqui acima. Este método permite que você se livre da integração múltipla e é por isso que eu prefiro. Mais uma vez, tenha cuidado ao definir as densidades, no entanto.

Espero que isto ajude.

— JohnK
fonte

Corrija-me se estiver errado, mas acho que não é necessário encontrar a distribuição condicional para encontrar a expectativa condicional para o UMVUE. Podemos encontrar a média condicional usando relações conhecidas entre variáveis Beta e Gamma independentes. Especificamente, o fato de que, se e são variáveis Gamma independentes, é uma variável Gamma e é independente da variável Beta . $U$ $V$ $U+V$ $\frac{U}{U+V}$

Aqui, observe que e são distribuídos independentemente. E é distribuído independentemente de . $X_1\sim\text{Gamma}(1,\frac{1}{\theta})$ $\sum_{i=2}^nX_i\sim\text{Gamma}(n-1,\frac{1}{\theta})$ $X_1+\sum_{i=2}^nX_i\sim\text{Gamma}(n,\frac{1}{\theta})$ $\dfrac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\sim\text{Beta}(1,n-1)$

Defina $h(X_1,\cdots,X_n)=\begin{cases}1&,\text{ if }X_1\le2\\0&,\text{ otherwise }\end{cases}$

$T=\sum_{i=1}^n X_i$ é completo o suficiente para a família de distribuições . $\{1-\exp(-\frac{x}{\theta}):\theta>0\}$

Portanto, UMVUE de le2 é pelo teorema de Lehmann-Scheffe. $P(X\le 2)$ $E(h\mid T)$

Temos,

\begin{aligned} E (h ∣ T = t) & = P (X_{1} \leq 2 ∣ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = t) \\ = P (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} \leq \frac{2}{t} ∣ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = t) \\ = P (\frac{X_{1}}{X_{1} + \sum_{i = 2}^{n} X_{i}} \leq \frac{2}{t} ∣ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = t) \\ = P (\frac{X_{1}}{X_{1} + \sum_{i = 2}^{n} X_{i}} \leq \frac{2}{t}) \\ = \int_{0}^{2 / t} \frac{(1 - x)^{n - 2}}{B (1, n - 1)} d x \\ = 1 - {(1 - \frac{2}{t})}^{n - 1} \end{aligned}

$\begin{align}E(h\mid T=t)&=P(X_1\le2\mid \sum_{i=1}^n X_i=t)\\&=P\left(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^nX_i}\le\frac{2}{t}\mid\sum_{i=1}^n X_i=t\right)\\&=P\left(\frac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\le\frac{2}{t}\mid\sum_{i=1}^n X_i=t\right)\\&=P\left(\frac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\le\frac{2}{t}\right)\\&=\int_0^{2/t}\frac{(1-x)^{n-2}}{B(1,n-1)}\,\mathrm{d}x\\&=1-\left(1-\frac{2}{t}\right)^{n-1}\end{align}$

Portanto, o UMVUE de deve ser . $P(X\le2)$ $1-\left(1-\dfrac{2}{\sum_{i=1}^nX_i}\right)^{n-1}$

— Teimoso
fonte

Eu gosto mais desta resposta.

— Hyg17