Por que os GLMs prevêem a média e não o modo?

Por que um GLM prevê a média e não o modo de um sinal? Isso não contradiz a própria base do GLM, ou seja, a máxima probabilidade? As equações a serem resolvidas para os parâmetros do modelo em um GLM são baseadas na maximização da probabilidade, conforme descrito pela distribuição de probabilidade do sinal modelado. Essa distribuição de probabilidade é máxima para o modo não para a média (a distribuição normal é uma exceção: o modo e a média são iguais). Portanto, um GLM deve prever o modo , não a média de um sinal! (Para mais informações sobre esta questão, clique aqui .)

— nukimov
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Estou um pouco enferrujado para dar isso como resposta, mas acredito que a idéia é que haja uma distribuição de meios condicionais prováveis, e o GLM fornece o modo dessa distribuição. (Então é a estimativa modal da média.)

— Shea Parkes

Editei seu título para refletir o modelo StackExchange - perguntas são perguntas, não peças de opinião. (Você deve tentar evitar que o corpo de seu som pergunta como uma espécie de discurso.)

— Glen_b -Reinstate Monica

Observe que a probabilidade é uma função dos parâmetros, enquanto o modelo está tentando descrever a distribuição dos dados. Não há inconsistência. De fato, considere uma regressão logística para dados binários, onde as proporções ajustadas variam entre 0,2 e 0,475. O modo da distribuição de Bernoulli é, em cada caso, 0 - então você está dizendo que o modelo deve consistir inteiramente de 0? Isso é muito menos útil que um modelo para a média.

— Glen_b -Reinstala Monica

Apenas uma observação: o modo de sua resposta pode ser extremamente pouco informativo. No exemplo mais extremo, o modo de uma distribuição de Bernoulli sempre será 0 ou 1.

— Cliff AB

O que está sendo maximizado na probabilidade máxima não é a densidade da distribuição dos dados, mas a probabilidade do parâmetro.

— Glen_b -Reinstar Monica

Respostas:

O objetivo do ajuste de máxima verossimilhança é determinar os parâmetros de alguma distribuição que melhor se ajusta aos dados - e, de maneira mais geral, como esses parâmetros podem variar com as covariáveis. No caso de MLG, queremos determinar os parâmetros de alguma distribuição de família exponencial, e como eles são uma função de algumas co-variáveis . $\theta$ $X$

Para qualquer distribuição de probabilidade na família exponencial superdispersa, é garantido que a média esteja relacionada ao parâmetro da família exponencial canônica através da função de ligação canônica, . Podemos até determinar uma fórmula geral para , e tipicamente é invertível. Se simplesmente e , obteremos automaticamente um modelo de como e variam com $\mu$ $\mathbf{\theta}$ $\theta = g(\mu)$ $g$ $g$ $\mu = g^{-1}(\theta)$ $\theta = X\beta$ $\mu$ $\theta$ , independentemente da distribuição com a qual estamos lidando, e esse modelo pode serajustado de maneira fácil e confiável aos dados pela otimização convexa. A resposta de Mattmostra como funciona para a distribuição de Bernoulli, mas a verdadeira mágica é que funciona para todas as distribuições da família. $X$

O modo não possui essas propriedades. De fato, como Cliff AB aponta, o modo pode nem ter uma relação bijetiva com o parâmetro de distribuição, portanto a inferência do modo é de poder muito limitado. Veja a distribuição de Bernoulli, por exemplo. Seu modo é 0 ou 1, e saber o modo apenas informa se , a probabilidade de 1, é maior ou menor que 1/2. Por outro lado, a média diz exatamente o que é. $p$ $p$

Agora, para esclarecer alguma confusão na pergunta: probabilidade máxima não é encontrar o modo de uma distribuição, porque a probabilidade não é a mesma função que a distribuição. A probabilidade envolve a distribuição do modelo em sua fórmula, mas é aí que as semelhanças terminam. A função de probabilidade usa um valor de parâmetro como entrada e informa a probabilidade de todo o conjunto de dados , considerando a distribuição do modelo com . A distribuição do modelo depende de , mas, como função, assume um valor $L(\theta)$ $\theta$ $\theta$ $f_\theta(y)$ $\theta$ $y$ como entrada e informa com que frequência uma amostra aleatória dessa distribuição será igual a . O máximo de e o modo de não são a mesma coisa. $y$ $L(\theta)$ $f_\theta(y)$

Talvez ajude a ver a fórmula da probabilidade. No caso dos dados IID , temos Os valores de são todos fixos - eles são os valores do seu dados. A probabilidade máxima é encontrar o que maximiza . Encontrar o modo da distribuição seria encontrar que maximiza $y_1,y_2,\ldots,y_n$

eu (θ) = \prod_{Eu = 1}^{n} f_{θ} (y_{Eu})

$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f_\theta(y_i)$

y_{i}

$y_i$

θ

$\theta$

L (θ)

$L(\theta)$

y

$y$

, que não é o que queremos:

é fixo na probabilidade, não uma variável.

f_{θ} (y)

$f_\theta(y)$

y

$y$

Portanto, encontrar o máximo da função de verossimilhança não é, em geral, o mesmo que encontrar o modo de distribuição do modelo. (É o modo de outra distribuição, se você perguntar a um bayesiano objetivo, mas essa é uma história muito diferente!)

— Paulo
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Há duas coisas a discutir aqui:

Os fatos que um glm tenta prever como a média de uma distribuição condicional e estima seus parâmetros pela máxima probabilidade são consistentes. $y$ $\beta$
Estimar os parâmetros por máxima probabilidade não está determinando o modo de nenhuma distribuição. Pelo menos não na formulação clássica de um glm.

Vamos considerar o glm não trivial mais simples como um exemplo prático, o modelo logístico. Na regressão logística, temos uma resposta com valor 0, 1. Postulamos que é bernoulli distribuído condicionalmente em nossos dados $y$ $y$

y ∣ X \sim B e r n o você eu eu Eu (p (X))

$y \mid X \sim Bernoulli(p(X))$

E tentamos estimar a média dessa distribuição condicional (que neste caso é apenas ) vinculando-a a uma função linear de $p$ $X$

registro (\frac{p}{1 - p}) = X β

$\log\left(\frac{p}{1-p}\right) = X \beta$

Parando e refletindo, vemos neste caso que é natural querer saber , que é o meio de uma distribuição condicional. $p$

Na configuração do glm, não é estimado diretamente, é que o procedimento de estimativa visa. Para chegar a , usamos a máxima verossimilhança. A probabilidade de observar um ponto de dados da distribuição condicional de bernoulli, dado o valor de observado, e um conjunto específico de parâmetros , é $p$ $\beta$ $\beta$ $y$ $X$ $\beta$

P (y ∣ X, β) = p^{y} (1 - p)^{1 - y}

$P \left( y \mid X, \beta \right) = p^y (1-p)^{1-y}$

onde é uma função de e através do relacionamento de ligação. $p$ $\beta$ $X$

Observe que é que é amostrado de uma distribuição de probabilidade aqui, não beta. $y$

Para aplicar a máxima probabilidade, invertemos isso em uma função de , considerando e como fixos e observados: $\beta$ $X$ $y$

eu (β) = p^{y} (1 - p)^{1 - y}

$L(\beta) = p^y (1-p)^{1-y}$

Mas não é uma função de densidade , é uma probabilidade. Quando você maximizar a probabilidade de que você está não estimar o modo de distribuição, porque simplesmente não há distribuição para, assim, modo-ize. $L$

Você pode produzir uma densidade a partir de fornecendo uma distribuição prévia dos parâmetros e usando a regra de Bayes, mas na formulação glm clássica, isso não é feito. $L$ $\beta$

— Matthew Drury
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Obrigado por todos os comentários e respostas. Embora em nenhum deles seja 100% a resposta para minha pergunta, todos eles me ajudaram a enxergar a aparente contradição. Assim, decidi formular a resposta pessoalmente, acho que este é um resumo de todas as idéias envolvidas nos comentários e respostas:

$f(y; \theta, \phi)$ $f$

$f(y; \theta, \phi)$ $f$ $y$ $\boldsymbol\beta$ $f$ $\boldsymbol\beta$ $y$ $\boldsymbol\beta$ $\boldsymbol\beta$ $f$ $\boldsymbol\beta$ $y$ (que, de fato, seria o modo), é a saída do processo de maximização.
$\boldsymbol\mu$ $\boldsymbol\beta$ $\boldsymbol\mu$

— nukimov
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