Dado n r.v uniformemente distribuído, qual é o PDF de um rv dividido pela soma de todos os n r.v's?

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Estou interessado no seguinte tipo de caso: existem 'n' variáveis aleatórias contínuas que devem somar 1. Qual seria então o PDF para qualquer variável individual desse tipo? Portanto, se , estou interessado na distribuição de , em que e são todos distribuídos uniformemente. A média, obviamente, neste exemplo, é , pois é apenas , e embora seja fácil simular a distribuição em R, não sei qual é a equação real para o PDF ou CDF. $n=3$ $\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$ $X_1, X_2$ $X_3$ $1/3$ $1/n$

Essa situação está relacionada à distribuição do Irwin-Hall ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution ). Somente Irwin-Hall é a distribuição da soma de n variáveis aleatórias uniformes, enquanto eu gostaria da distribuição de um de n rv uniformes dividido pela soma de todas as n variáveis. Obrigado.

uniform

— user3593717
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Se as variáveis aleatórias uniformes contínuas somam , então com , e, portanto, a distribuição de é a mesma que a distribuição de , certo?

n

$n$

1

$1$

n = 3

$n=3$

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 1

$X_1+X_2+X_3 = 1$

\frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2} + X_{3}} = X_{1}

$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3} = X_1$

X_{1}

$X_1$

— precisa saber é o seguinte

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Devo me corrigir: as N distribuições uniformes não somam 1. Suponho que cada uma seja uniforme entre 0 e 1 e, portanto, sua soma pode ser de 0 a N. Penso em pegar cada variável uniforme e dividir pela soma de todas as N variáveis uniformes para obter um conjunto de N variáveis aleatórias que somam 1 e têm o valor esperado 1 / N. Nota: removi a palavra 'uniforme' da minha primeira frase. A distribuição que estou procurando não é uniforme, mas é derivada da divisão de uma das N variáveis uniformes pela soma de todas as N variáveis uniformes, de alguma forma. Só não sei como.

— user3593717

Onde os são distribuídos exponencialmente, o vetor de variáveis normalizadas possui uma distribuição Dirichlet. Isso pode ser interessante por si só, mas investigar também pode fornecer táticas para esse tipo de situação.

X_{i}

$X_i$

— conjectures

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Os pontos de interrupção no domínio o tornam um pouco confuso. Uma abordagem simples, porém tediosa, é chegar ao resultado final. Para deixar e Em seguida, $n=3,$ $Y=X_2 + X_3,$ $W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$ $T = 1 + W.$ $Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

Os pontos de interrupção estão em 1 para 1 e 2 para 2 e 3 para e e para Eu achei o pdf completo como $Y,$ $W,$ $T,$ $1/3$ $1/2$ $Z.$

f (z) = {\begin{cases} \frac{1}{(1 - z)^{2}}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{3 z^{3} - 9 z^{2} + 6 z - 1}{3 z^{3} (1 - z)^{2}}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{1 - z}{3 z^{3}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

O cdf pode ser encontrado como

F (z) = {\begin{cases} \frac{z}{(1 - z)}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{1}{2} + \frac{- 18 z^{3} + 24 z^{2} - 9 z + 1}{6 z^{2} (1 - z)}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{5}{6} + \frac{2 z - 1}{6 z^{2}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

— Soakley
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+1 Nice. Além disso, sua densidade concorda perfeitamente com a simulação.

— Glen_b -Reinstala Monica

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Seja . Podemos encontrar o cdf de calculando Em seguida, diferenciamos e substituímos o pdf do Irwin-Hall para obter o pdf desejado: $Y=\sum_{i=2}^n X_i$ $X_1/\sum_{i=1}^n X_i$

\begin{aligned} P (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} \leq t) & = P (X_{1} \leq t \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) \\ = P ((1 - t) X_{1} \leq t \sum_{i = 2}^{n} X_{i}) \\ = P (X_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) \\ = \int_{0}^{1} P (x_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) d x_{1} \\ = \int_{0}^{1} (1 - F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1})) d x_{1} \\ = 1 - \int_{0}^{1} F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$

\begin{aligned} f (t) & = \int_{0}^{1} f_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) \cdot \frac{x_{1}}{t^{2}} d x_{1} \\ = \frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{1 \land \frac{(n - 1) t}{1 - t}} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{1 - t}{t} x_{1} ⌋} \frac{1}{(n - 2)!} (- 1)^{k} (\binom{n - 1}{k}) (\frac{1 - t}{t} x_{1} - k)^{n - 1} x_{1} d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$ A partir daqui, fica um pouco confuso, mas você deve poder trocar a integral e a soma e, em seguida, executar uma substituição (por exemplo, ) para avaliar a integral e, portanto, obter uma fórmula explícita para o pdf.

u = \frac{t x_{1}}{1 - t} - k

$u=\frac{tx_1}{1-t}-k$

— Brent Kerby
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1

Assumindo

"as distribuições uniformes N não somam 1."

Foi assim que comecei (está incompleto):

Considere e deixe com um leve abuso de notação. $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X=X_i$

Considere e : $U = \frac{X}{Y}$ $V =Y$

X = U V Y = V

$X=UV\\ Y=V$

Depois da transformação das variáveis :

J = [\begin{matrix} V & U \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

A função de probabilidade conjunta de é dada por: $(U,V)$

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

Onde e $X \sim U(0,1)$ $Y \sim IrwinHall$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

E,

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (x - k)^{n - 1} s i g n (x - k)

$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$

Assim,

f_{U, V} (u, v) = {\begin{cases} \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (u v - k)^{n - 1} s i g n (u v - k) & 0 \leq u v \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

e $f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

— direitos
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0

Suponha que já sabemos que soma de tem uma distribuição Irwin-Hall. Agora, sua pergunta muda para encontrar o pdf (ou CDF) de quando X tinha uma distribuição e tem uma distribuição Irwin-Hall. $U(0,1)$ $\frac{X}{Y}$ $U(0,1)$ $Y$

Primeiro, precisamos encontrar ele pdf conjunta de e . $X$ $Y$

Seja $Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

Então

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

Como são iid com portanto, $X_1, X_2, X_3$ $U(0,1),$ $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

A distribuição conjunta com é $y_1,y_2,y_3$

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

Em seguida, vamos integrar o e podemos obter a distribuição conjunta de e ou seja, a distribuição conjunta de e $Y_2$ $Y_1$ $Y_3$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$

Como sugerido pelo whuber agora mudei os limites

\begin{matrix} (1) & h (y_{1}, y_{3}) = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) d y_{2} = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} 1 d y_{2} = y_{3} - y_{1} - 2 \end{matrix}

$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$

Agora, sabemos que o pdf conjunto de ou seja, o pdf conjunto e é . $X,Y$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$ $y_3-y_1-2$

Em seguida, localize o pdf de $\frac{X}{Y}$

Precisamos de outra transformação:

Seja $Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

Então $X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

Então

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

já a distribuição conjunta de dos passos acima ref (1) . $X,Y$

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

Em seguida, integramos , obtemos o pdf de e, em seguida, o pdf de $y_1$ $y_2$ $\frac{X}{Y}$

\begin{matrix} (2) & h_{2} (y_{2}) = \int_{0}^{1} (y_{3} - y_{1} - 2) \frac{y_{1}}{y_{2}^{2}} d y_{1} = \frac{1}{y_{2}^{2}} (\frac{y_{3}}{2} - \frac{1}{3} - 1) \end{matrix}

$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$

Este é o pdf de ou seja, $X/Y$ $\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

Ainda não terminamos, o que é em (2) então? $y_3$

Sabemos que desde a primeira transformação. $Y_3=X_1+X_2+X_3$

Portanto, pelo menos sabemos que tem uma distribuição Irwin-Hall . $Y_3$

Gostaria de saber se podemos conectar o Irwin-Hall para pdf a (2) para obter uma fórmula explícita? ou podemos fazer algumas simulações daqui, como Glen sugeriu? $n=3$

— Norte profundo
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2

A simulação parece não concordar com esse pdf.

— Glen_b -Reinstala Monica

A lógica e as etapas parecem corretas, mas me sinto desconfortável com esta solução.

— Deep North

2

Onde você integrou , precisava contabilizar as condições e .

y_{2}

$y_2$

y_{1} \leq y_{2} \leq y_{3}

$y_1\le y_2\le y_3$

y_{3} - 1 \leq y_{2} \leq y_{1} + 1

$y_3-1 \le y_2\le y_1+1$

— whuber