Como calcular o valor esperado de uma distribuição normal padrão?

Eu gostaria de aprender como calcular o valor esperado de uma variável aleatória contínua. Afigura-se que o valor esperado é em que é a função de densidade de probabilidade de .

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\mathrm{d}x$

f (x)

$f(x)$

X

$X$

Suponha que a função densidade de probabilidade de seja que é a densidade da distribuição normal padrão. $X$

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}$

Então, primeiro eu inseria o PDF e obtinha que é uma equação bastante confusa. A constante pode ser movida para fora da integral, fornecendo

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x$

\frac{1}{\sqrt{2 π}}

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x .

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x.$

Eu fico preso aqui. Como faço para calcular integral? Estou fazendo isso corretamente até agora? É a maneira mais simples de obter o valor esperado?

random-variable pdf expected-value

— mmh
fonte

o título da sua pergunta é enganoso. Na verdade, você está tentando calcular o valor esperado de uma variável aleatória normal padrão. Você também pode calcular o valor esperado de uma função de um RV. Prefiro colocar no título: "Como calcular o valor esperado de uma distribuição normal padrão". Ou "Como calcular o valor esperado de uma variável aleatória contínua".

— Gumeo 13/10/2015

@ GuðmundurEinarsson corrigido.

— mmh

"Eu fico preso aqui. Como faço para calcular integral?" Encontre a derivada de . (Não, eu não estou sendo ridículo e sugerindo trabalho desnecessário para você; eu sou muito sério; Just Do It!). Então olhe com muita atenção a derivada que você encontrou.

- e^{- \frac{x^{2}}{2}}

$-e^{-\frac{x^2}{2}}$

— Dilip Sarwate

Respostas:

Você está quase chegando, siga seu último passo:

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} / 2} d (- \frac{x^{2}}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} ∣_{- \infty}^{\infty} = 0 0

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\displaystyle\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}d(-\frac{x^2}{2})\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\mid_{-\infty}^{\infty}\\=0$ .

Ou você pode usar diretamente o fato de que é uma função ímpar e os limites da integral são simetria. $xe^{-x^2/2}$

— Norte profundo
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O argumento de simetria só funciona se as duas metades forem convergentes.

— Glen_b -Reinstala Monica

Você poderia explicar o que acontece na segunda linha?

— mmh

O comentário de Glen está correto, se não é, então variáveis mudança de-convergentes não vai funcionar

— Profundo Norte

A segunda linha é igual à primeira linha desde que também observa o sinal negativo no início. Então você pode pensar na mudança de variável para integração e depois alterá-la novamente, pois os limites não mudaram. Ou você pode usar a integração por partes. E lembre-se

d (- \frac{x^{2}}{2}) = - x d x

$d(-\frac{x^2}{2})=-xdx$

\int_{a}^{b} e^{y} d y = e^{y} ∣_{a}^{b}

$\int_{a}^{b}e^y dy=e^y\mid_{a}^{b}$

— Deep North

Para usar a simetria para obter a média, você precisa saber que converge - isso ocorre nesse caso, mas geralmente você não pode assumi-lo. Por exemplo, o argumento de simetria diria que a média do padrão Cauchy é 0, mas não possui um.

\int_{0}^{\infty} x f (x) d x

$\int_0^\infty xf(x) dx$

— Glen_b -Reinstala Monica

Como você deseja aprender métodos para calcular as expectativas e deseja conhecer algumas maneiras simples, poderá usar a função de geração de momento (mgf)

ϕ (t) = E [e^{t X}] .

$\phi(t) = E[e^{tX}].$

O método funciona especialmente bem quando a função de distribuição ou sua densidade são dadas como exponenciais. Nesse caso, você realmente não precisa fazer nenhuma integração depois de observar

t^{2} / 2 - {(x - t)}^{2} / 2 = t^{2} / 2 + (- x^{2} / 2 + t x - t^{2} / 2) = - x^{2} / 2 + t x,

$t^2/2 -\left(x - t\right)^2/2 = t^2/2 + (-x^2/2 + tx - t^2/2) = -x^2/2 + tx,$

porque, escrevendo a função de densidade normal padrão em como (para uma constante cujo valor você não precisará saber), isso permite que você reescreva seu mgf como $x$ $C e^{-x^2/2}$ $C$

ϕ (t) = C \int_{R} e^{t x} e^{- x^{2} / 2} d x = C \int_{R} e^{- x^{2} / 2 + t x} d x = e^{t^{2} / 2} C \int_{R} e^{- (x - t)^{2} / 2} d x .

$\phi(t) = C\int_\mathbb{R} e^{tx} e^{-x^2/2} dx = C\int_\mathbb{R} e^{-x^2/2 + tx} dx = e^{t^2/2}C\int_\mathbb{R} e^{-(x-t)^2/2} dx .$

No lado direito, seguindo o termo , você reconhecerá a integral da probabilidade total de uma distribuição Normal com média e variação unitária, que, portanto, é . Consequentemente $e^{t^2/2}$ $t$ $1$

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} .

$\phi(t) = e^{t^2/2}.$

Como a densidade Normal fica pequena em valores grandes tão rapidamente, não há problemas de convergência, independentemente do valor de . é reconhecidamente analítico em , o que significa que é igual a sua série MacLaurin $t$ $\phi$ $0$

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} = 1 + (t^{2} / 2) + \frac{1}{2} {(t^{2} / 2)}^{2} + \dots + \frac{1}{k!} {(t^{2} / 2)}^{k} + \dots .

$\phi(t) = e^{t^2/2} = 1 + (t^2/2) + \frac{1}{2} \left(t^2/2\right)^2 + \cdots + \frac{1}{k!}\left(t^2/2\right)^k + \cdots.$

No entanto, como converge absolutamente para todos os valores de , também podemos escrever $e^{tX}$ $tX$

E [e^{t X}] = E [1 + t X + \frac{1}{2} (t X)^{2} + \dots + \frac{1}{n!} (t X)^{n} + \dots] = 1 + E [X] t + \frac{1}{2} E [X^{2}] t^{2} + \dots + \frac{1}{n!} E [X^{n}] t^{n} + \dots .

$E[e^{tX}] = E\left[1 + tX + \frac{1}{2}(tX)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}(tX)^n + \cdots\right] \\ = 1 + E[X]t + \frac{1}{2}E[X^2]t^2 + \cdots + \frac{1}{n!}E[X^n]t^n + \cdots.$

Duas séries de potências convergentes podem ser iguais apenas se forem iguais termo a termo, de onde (comparando os termos envolvendo ) $t^{2k} = t^n$

\frac{1}{(2 k)!} E [X^{2 k}] t^{2 k} = \frac{1}{k!} (t^{2} / 2)^{k} = \frac{1}{2^{k} k!} t^{2 k},

$\frac{1}{(2k)!}E[X^{2k}]t^{2k} = \frac{1}{k!}(t^2/2)^k = \frac{1}{2^kk!} t^{2k},$

implicando

E [X^{2 k}] = \frac{(2 k)!}{2^{k} k!}, k = 0 0, 1, 2, ...

$E[X^{2k}] = \frac{(2k)!}{2^kk!},\ k = 0, 1, 2, \ldots$

(e todas as expectativas de potências ímpares de são zero). Praticamente sem esforço, você obteve as expectativas de todos os poderes integrais positivos de ao mesmo tempo. $X$ $X$

Variações dessa técnica podem funcionar igualmente bem em alguns casos, como , desde que o intervalo de seja adequadamente limitado. O mgf (e seu parente próximo a função característica ) são tão geralmente úteis, porém, que você os encontrará dados em tabelas de propriedades distributivas, como na entrada da Wikipedia sobre a distribuição Normal . $E[1/(1-tX)] = E[1 + tX + (tX)^2 + \cdots + (tX)^n + \cdots]$ $X$ $E[e^{itX}]$

— whuber
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