Método do segundo momento, movimento browniano?

Deixe- $B_t$ ser um movimento browniano padrão. Seja $E_{j, n}$ denotar o evento

{B_{t} = 0 for some \frac{j - 1}{2^{n}} \leq t \leq \frac{j}{2^{n}}},

$\left\{B_t = 0 \text{ for some }{{j-1}\over{2^n}} \le t \le {j\over{2^n}}\right\},$ e deixe

K_{n} = \sum_{j = 2^{n} + 1}^{2^{2 n}} 1_{E_{j, n}},

$K_n = \sum_{j = 2^n + 1}^{2^{2n}} 1_{E_{j,n}},$ que

1

$1$ indica a função do indicador. Existe

ρ > 0

$\rho > 0$ tal que para

P {K_{n} \geq ρ 2^{n}} \geq ρ

$\mathbb{P}\{K_n \ge \rho2^{n}\} \ge \rho$ para todos os

n

$n$ ? Eu suspeito que a resposta é sim; Eu tentei mexer com o método do segundo momento, mas não foi muito útil. Isso pode ser mostrado com o método do segundo momento? Ou devo tentar outra coisa?

— Aluna
fonte

Primeiro, se sua soma não for:

pois seu evento sugere que a taxa de crescimento de

portanto, seria de esperar que sua soma tivesse

termos , não?

K_{n} = \sum_{j = 2^{n} + 1}^{2^{n + 1}}

$K_n = \sum_{j=2^n+1}^{2^{n+1}}$

K_{n}

$K_n$

2^{n}

$2^n$

2^{n + 1}

$2^{n+1}$

— Grant Izmirlian

Não é a resposta, mas possivelmente uma reformulação útil

Suponho que o comentário feito acima esteja correto (ou seja, a soma tem termos). $2^{n+1}$

Denotar Observe que se

p_{n} (ρ) = P (K_{n} > ρ 2^{n}) = P (K_{n} / 2^{n} > ρ)

$p_n(\rho)=P(K_n>\rho 2^n)=P(K_n/2^n>\rho )$

p_{n} (ρ_{1}) > p_{n} (ρ_{2})

$p_n(\rho_1)>p_n(\rho_2)$

ρ_{1} < ρ_{2}

$\rho_1 < \rho_2$

Primeiro ponto: se você perguntar se existe para todos n, você precisa mostrar que para alguns o limite é positivo então, se tiver limite positivo e todos valores são positivos, deve ser separado de zero, digamos . Então $\rho$ $\delta$

lim_{n \to \infty} p_{n} (δ) > 0

$\lim_{n\rightarrow \infty} p_n(\delta)>0$

p_{n} (δ)

$p_n(\delta)$

p_{n} (δ) > ε

$p_n(\delta)>\varepsilon$

para que você tenha a propriedade desejada para

p_{n} (min (ε, δ)) \geq p_{n} (δ) > ε \geq min (ε, δ)

$p_n(\min(\varepsilon,\delta)) \geq p_n(\delta)>\varepsilon \geq \min(\varepsilon,\delta)$

ρ = min (ε, δ)

$\rho=\min(\varepsilon, \delta)$

Então, você só precisa mostrar o limite de para ser positivo. $p_n$

Eu então investigaria a variável e seu valor esperado $K_n/2^n$

— krzmip
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