Como normalizar dados entre -1 e 1?

Eu vi a fórmula de normalização min-max, mas que normaliza valores entre 0 e 1. Como normalizaria meus dados entre -1 e 1? Eu tenho valores negativos e positivos na minha matriz de dados.

Com:

$$x' = \frac{x - \min{x}}{\max{x} - \min{x}}$$ você normaliza seu recurso $x$ em $[0,1]$ .

Para normalizar em $[-1,1]$ você pode usar:

$$x'' = 2\frac{x - \min{x}}{\max{x} - \min{x}} - 1$$

Em geral, você sempre pode obter uma nova variável $x'''$ em $[a,b]$ :

$$x''' = (b-a)\frac{x - \min{x}}{\max{x} - \min{x}} + a$$

Eu testei em dados gerados aleatoriamente e

$$\begin{equation} X_{out} = (b-a)\frac{X_{in} - \min{X_{in}}}{\max{X_{in}} - \min{X_{in}}} + a \end{equation}$$

não preserva a forma da distribuição. Realmente gostaria de ver a derivação apropriada disso usando funções de variáveis ​​aleatórias.

A abordagem que preservou a forma para mim estava usando:

$$\begin{equation} X_{out} = \frac{X_{in} - \mu_{in}}{\sigma_{in}} \cdot \sigma_{out} + \mu_{out} \end{equation}$$

Onde

$$\begin{equation} \sigma_{out} = \frac{b-a}{6} \end{equation}$$

(Admito que usar 6 é um pouco sujo ) e

$$\begin{equation} \mu_{out} = \frac{b+a}{2} \end{equation}$$

e

$a$ e representa a gama desejada; assim como por causa original seria e .$b$$a=-1$$b=1$

Cheguei ao resultado desse raciocínio

$$\begin{equation} Z_{out} = Z_{in} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \frac{X_{out} - \mu_{out}}{\sigma_{out}} = \frac{X_{in} - \mu_{in}}{\sigma_{in}} \end{equation}$$