Qual é o significado do super script 2 subscript 2 dentro do contexto das normas?

Eu sou novo na otimização. Continuo vendo equações que têm um sobrescrito 2 e um subscrito 2 no lado direito de uma norma. Por exemplo, aqui está a equação dos mínimos quadrados

min $||Ax-b||^2_2$

Acho que entendo o sobrescrito 2: significa elevar o valor da norma. Mas qual é o subscrito 2? Como devo ler essas equações?

regression optimization notation

— bernie2436
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| | θ | |_{p}

$||\theta||_p$ é a

ℓ_{p}

$\ell_p$ -norm de

θ

$\theta$ . Digamos que

θ

$\theta$ é

d

$d$ dimensional, então

| | θ | |_{p} = {(\sum_{i = 1}^{d} | θ_{i} |^{p})}^{\frac{1}{p}}

$||\theta||_p = \left(\sum_{i=1}^d |\theta_i|^p\right)^\frac{1}{p}$ .

— Sobi 15/12/2015

Barras verticais únicas são usadas para valor absoluto (magnitude):

| θ |

$|\theta|$

— Scortchi - Restabelecer Monica

Obrigado! ... mas para que serve o sobrescrito 2? ... a assinatura é para a enésima norma .... a sobrescrita é para?

— mathopt

@ user1467929: Squaring - se é algo que eles certamente teriam dito.

— Scortchi - Restabelece Monica

Respostas:

Você está certo sobre o sobrescrito. O subscrito $||.||_p$ especifica o $p$ -norm.

Portanto:

| | x_{i} | |_{p} = (\sum_{i} | x_{i} |^{p})^{1 / p}

$||x_i||_p=(\sum_i|x_i|^p)^{1/p}$

| | x_{i} | |_{p}^{p} = \sum_{i} | x_{i} |^{p}

$||x_i||_p^p=\sum_i|x_i|^p$

— RUser4512
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ah E há convenções para os significados dos subscritos que vejo. en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)#p-norm . Então, como uma norma = táxi, 2 = norma Euclid etc

— bernie2436

@ bernie2436: Estes são casos especiais da definição geral dada na resposta acima (exceto talvez o sup-norma com )

p = \infty

$p = \infty$

— Michael M

$\|x\|_2$ é a norma euclidiana do vetor ; é a norma euclidiana ao quadrado de . Observe que, como a norma euclidiana é provavelmente a norma mais comumente usada pelas pessoas rotineiramente abreviada por. Por definição, ao assumir um espaço vetorial euclidiano: . $x$ $\|x\|_2^2$ $x$ $\|x\|$ $\|x\|_2 := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

Conforme mencionado nos comentários, o índice subscrito refere-se ao grau da norma. Outras normas vulgarmente utilizadas são para , e . Para obtém-se o número de elementos diferentes de zero em , para (ou seja, ) obtém-se a norma de Manhattan e para obtém-se o valor absoluto máximo dos elementos em . Ambos e são populares em esparsa / comprimido configurações do aplicativo onde se quer "desejo" algumas coeficiente (s) a ser zero. $p$ $p = 0$ $p = 1$ $p = \infty$ $p=0$ $x$ $p=1$ $\|x\|_1$ $p = \infty$ $x$ $p = 0$ $p = 1$

— usεr11852 diz Reinstate Monic
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