Coeficiente de correlação para uma distribuição uniforme em uma elipse

Atualmente, estou lendo um artigo que afirma que o coeficiente de correlação para uma distribuição uniforme no interior de uma elipse

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} constant & if (x, y) inside the ellipse \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y} (x,y) = \begin{cases}\text{constant} & \text{if} \ (x,y) \ \text{inside the ellipse} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

É dado por

ρ = \sqrt{1 - {(\frac{h}{H})}^{2}}

$\rho = \sqrt{1- \left(\frac{h}{H}\right)^2 }$

onde e são as alturas verticais no centro e nos extremos, respectivamente. $h$ $H$

O autor não revela como ele chega a isso e apenas diz que precisamos mudar de escala, girar, traduzir e, claro, integrar. Eu gostaria muito de refazer seus passos, mas estou um pouco perdido com tudo isso. Ficaria, portanto, grato por algumas dicas.

Agradeço antecipadamente.

Oh, e para o registro

Châtillon, cara. "O balão determina uma estimativa aproximada do coeficiente de correlação". The American Statistician 38.1 (1984): 58-60

É bem divertido.

— JohnK
fonte

Você poderia escrever uma expressão para a elipse? A "altura ao extremo" não faz sentido para uma elipse padrão: pois possui altura em os extremos. De fato, se estiver uniformemente distribuído no interior da elipse padrão, então .

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

0

$0$

(X, Y)

$(X,Y)$

ρ = 0

$\rho = 0$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Sim, eu tentei o caso padrão e calculei , sem problemas por lá. Mas e nos outros casos, onde você precisa escalar, girar etc?

ρ = 0

$\rho = 0$

— JohnK

Toda a operação parece fundamentalmente errada. A parte "mudar de escala" destrói a uniformidade. Uma distribuição verdadeiramente uniforme é alcançada como a distribuição limitadora dentro dos tampões estreitos (euclidianos) da curva ou é uniforme pelo comprimento do arco. Em qualquer um dos casos, a constante de normalização é uma função elíptica completa e possivelmente não será simplificada para a expressão fornecida aqui. Não sei ao certo o que e significam, mas - como exemplo - o coeficiente de correlação para uma elipse com um eixo maior duas vezes o eixo menor, inclinado em um ângulo de , será .

h

$h$

H

$H$

π / 6

$\pi/6$

0.78004

$0.78004$

— whuber

@whuber Eu incluí uma figura do artigo que explica o que e representam, espero que isso fique mais claro.

h

$h$

H

$H$

— JohnK

Se você quiser uma resposta completa e completa, você a encontrará na minha publicação em stats.stackexchange.com/a/71303/919 . Afinal, quando a elipse é um círculo, o uniforme é (obviamente) circularmente simétrico; portanto, quase tudo nessa resposta se aplica diretamente. Em particular, vendo a elipse não como uma rotação de uma elipse horizontal, mas como uma transformação inclinada, a fórmula para se torna óbvia, porque (usando a notação na seção "Como criar elipses").

ρ

$\rho$

\sqrt{1 - ρ^{2}} = λ = h / H

$\sqrt{1-\rho^2}=\lambda = h/H$

— whuber

Deixe que ser uniformemente distribuída sobre o interior da elipse , onde e são o semi- eixos da elipse. Então, e têm densidades marginais e é fácil ver que . Além disso, $(X,Y)$

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

Y

$Y$

\begin{aligned} f_{X} (x) & = \frac{2}{π a^{2}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} 1_{- a, a} (x), \\ f_{X} (x) & = \frac{2}{π b^{2}} \sqrt{b^{2} - y^{2}} 1_{- b, b} (y), \end{aligned}

$\begin{align} f_X(x) &= \frac{2}{\pi a^2}\sqrt{a^2-x^2}\,\,\mathbf 1_{-a,a}(x),\\ f_X(x) &= \frac{2}{\pi b^2}\sqrt{b^2-y^2}\,\,\mathbf 1_{-b,b}(y), \end{align}$

E [X] = E [Y] = 0

$E[X] = E[Y] = 0$

\begin{aligned} σ_{X}^{2} = E [X^{2}] & = \frac{2}{π a^{2}} \int_{a}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x \\ = \frac{4}{π a^{2}} \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x \\ = \frac{4}{π a^{2}} \times a^{4} \frac{1}{2} \frac{Γ (3 / 2) Γ (3 / 2)}{Γ (3)} \\ = \frac{a^{2}}{4}, \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_X^2 = E[X^2] &= \frac{2}{\pi a^2}\int_a^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\\ &= \frac{4}{\pi a^2}\int_0^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\\ &= \frac{4}{\pi a^2}\times a^4 \frac 12\frac{\Gamma(3/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(3)}\\ &= \frac{a^2}{4}, \end{align}$ e da mesma forma, . Finalmente, e são variáveis aleatórias não correlacionadas .

σ_{Y}^{2} = \frac{b^{2}}{4}

$\sigma_Y^2 = \frac{b^2}{4}$

X

$X$

Y

$Y$

Vamos que é uma transformação de rotação aplicada a . Então, são distribuídos uniformemente no interior de uma elipse cujos eixos não coincidem com os eixos e . Mas é fácil verificar se e são variáveis aleatórias com média de zero e que suas variações são Além disso,

\begin{aligned} U & = X \cos θ - Y \sin θ \\ V & = X \sin θ + Y \cos θ \end{aligned}

$\begin{align} U &= X\cos \theta - Y \sin \theta\\ V &= X\sin \theta + Y \cos \theta \end{align}$

(X, Y)

$(X,Y)$

(U, V)

$(U,V)$

u

$u$

v

$v$

U

$U$

V

$V$

\begin{aligned} σ_{U}^{2} & = \frac{a^{2} \cos^{2} θ + b^{2} \sin^{2} θ}{4} \\ σ_{V}^{2} & = \frac{a^{2} \sin^{2} θ + b^{2} \cos^{2} θ}{4} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_U^2 &= \frac{a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta}{4}\\ \sigma_V^2 &= \frac{a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta}{4} \end{align}$

cov (U, V) = (σ_{X}^{2} - σ_{Y}^{2}) \sin θ \cos θ = \frac{a^{2} - b^{2}}{8} \sin 2 θ

$\operatorname{cov}(U,V) = (\sigma_X^2-\sigma_Y^2)\sin\theta\cos\theta = \frac{a^2-b^2}{8}\sin 2\theta$ a partir do qual podemos obter o valor de .

ρ_{U, V}

$\rho_{U,V}$

Agora, a elipse em cujo interior é uniformemente distribuído tem a equação $(U,V)$

\frac{(u \cos θ + v \sin θ)^{2}}{a^{2}} + \frac{(- u \sin θ + v \cos θ)^{2}}{b^{2}} = 1,

$\frac{(u \cos\theta + v\sin \theta)^2}{a^2} + \frac{(-u \sin\theta + v\cos \theta)^2}{b^2} = 1,$ ou seja, que também pode ser expresso como Definir em fornece . enquanto a diferenciação implícita de em relação a dá

(\frac{\cos^{2} θ}{a^{2}} + \frac{\sin^{2} θ}{b^{2}}) u^{2} + (\frac{\sin^{2} θ}{a^{2}} + \frac{\cos^{2} θ}{b^{2}}) v^{2} + ((\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}}) \sin 2 θ) u v = 1,

$\left(\frac{\cos^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\theta}{b^2}\right) u^2 + \left(\frac{\sin^2\theta}{a^2} + \frac{\cos^2\theta}{b^2}\right) v^2 + \left(\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right)\sin 2\theta \right)uv = 1,$

\begin{matrix} (1) & σ_{V}^{2} \cdot {você}^{2} + σ_{você}^{2} \cdot v^{2} - 2 ρ_{você, V} σ_{você} σ_{V} \cdot você v = \frac{{uma}^{2} b^{2}}{4} \end{matrix}

$\sigma_V^2\cdot u^2 + \sigma_U^2\cdot v^2 -2\rho_{U,V}\sigma_U\sigma_V\cdot uv = \frac{a^2b^2}{4}\tag{1}$

u = 0

$u = 0$

(1)

$(1)$

h = \frac{a b}{σ_{U}}

$\displaystyle h = \frac{ab}{\sigma_U}$

(1)

$(1)$

u

$u$

σ_{V}^{2} \cdot 2 você + σ_{você}^{2} \cdot 2 v \frac{d v}{d você} - 2 ρ_{você, V} σ_{você} σ_{V} \cdot (v + você \frac{d v}{d você}) = 0 0,

$\sigma_V^2\cdot 2u + \sigma_U^2\cdot 2v\frac{\mathrm dv}{\mathrm du} -2\rho_{U,V}\sigma_U\sigma_V\cdot \left(v + u\frac{\mathrm dv}{\mathrm du}\right) = 0,$ ou seja, a tangente à elipse é horizontal nos dois pontos da elipse para os quais O valor de pode ser calculado a partir disso e (no caso improvável de eu não ter cometido erros ao fazer os cálculos acima) levará ao resultado desejado.

(1)

$(1)$

(u, v)

$(u,v)$

ρ_{você, V} σ_{você} \cdot v = σ_{v} \cdot você .

$\rho_{U,V}\sigma_U\cdot v = \sigma_v\cdot u.$

H

$H$

— Dilip Sarwate
fonte

Essa é uma matriz de rotação ortogonal adequada, obrigado.

— JohnK