Coeficiente de correlação para uma distribuição uniforme em uma elipse


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Atualmente, estou lendo um artigo que afirma que o coeficiente de correlação para uma distribuição uniforme no interior de uma elipse

fX,Y(x,y)={constantif (x,y) inside the ellipse0otherwise

É dado por

ρ=1(hH)2

onde e são as alturas verticais no centro e nos extremos, respectivamente.HhH

insira a descrição da imagem aqui

O autor não revela como ele chega a isso e apenas diz que precisamos mudar de escala, girar, traduzir e, claro, integrar. Eu gostaria muito de refazer seus passos, mas estou um pouco perdido com tudo isso. Ficaria, portanto, grato por algumas dicas.

Agradeço antecipadamente.

Oh, e para o registro

Châtillon, cara. "O balão determina uma estimativa aproximada do coeficiente de correlação". The American Statistician 38.1 (1984): 58-60

É bem divertido.


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Você poderia escrever uma expressão para a elipse? A "altura ao extremo" não faz sentido para uma elipse padrão: pois possui altura em os extremos. De fato, se estiver uniformemente distribuído no interior da elipse padrão, então . 0(X,Y)ρ=0
x2a2+y2b2=1
0(X,Y)ρ=0
Dilip Sarwate

@DilipSarwate Sim, eu tentei o caso padrão e calculei , sem problemas por lá. Mas e nos outros casos, onde você precisa escalar, girar etc? ρ=0
JohnK

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Toda a operação parece fundamentalmente errada. A parte "mudar de escala" destrói a uniformidade. Uma distribuição verdadeiramente uniforme é alcançada como a distribuição limitadora dentro dos tampões estreitos (euclidianos) da curva ou é uniforme pelo comprimento do arco. Em qualquer um dos casos, a constante de normalização é uma função elíptica completa e possivelmente não será simplificada para a expressão fornecida aqui. Não sei ao certo o que e significam, mas - como exemplo - o coeficiente de correlação para uma elipse com um eixo maior duas vezes o eixo menor, inclinado em um ângulo de , será . H π / 6 0,78004hHπ/60.78004
whuber

@whuber Eu incluí uma figura do artigo que explica o que e representam, espero que isso fique mais claro. HhH
JohnK

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Se você quiser uma resposta completa e completa, você a encontrará na minha publicação em stats.stackexchange.com/a/71303/919 . Afinal, quando a elipse é um círculo, o uniforme é (obviamente) circularmente simétrico; portanto, quase tudo nessa resposta se aplica diretamente. Em particular, vendo a elipse não como uma rotação de uma elipse horizontal, mas como uma transformação inclinada, a fórmula para se torna óbvia, porque (usando a notação na seção "Como criar elipses"). ρ1ρ2=λ=h/H
whuber

Respostas:


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Deixe que ser uniformemente distribuída sobre o interior da elipse , onde e são o semi- eixos da elipse. Então, e têm densidades marginais e é fácil ver que . Além disso, x 2(X,Y)abXY f X (x)

x2a2+y2b2=1
abXYE[X]=E[Y]=0 σ 2 X =E[ X 2 ]
fX(x)=2πa2a2x21a,a(x),fX(x)=2πb2b2y21b,b(y),
E[X]=E[Y]=0
σX2=E[X2]=2πa2aax2a2x2dx=4πa20ax2a2x2dx=4πa2×a412Γ(3/2)Γ(3/2)Γ(3)=a24,
e da mesma forma, . Finalmente, e são variáveis ​​aleatórias não correlacionadas .σY2=b24XY

Vamos que é uma transformação de rotação aplicada a . Então, são distribuídos uniformemente no interior de uma elipse cujos eixos não coincidem com os eixos e . Mas é fácil verificar se e são variáveis ​​aleatórias com média de zero e que suas variações são Além disso,

U=XcosθYsinθV=Xsinθ+Ycosθ
(X,Y)(U,V)uvUV
σU2=a2cos2θ+b2sin2θ4σV2=a2sin2θ+b2cos2θ4
cov(U,V)=(σX2σY2)sinθcosθ=a2b28sin2θ
a partir do qual podemos obter o valor de .ρU,V

Agora, a elipse em cujo interior é uniformemente distribuído tem a equação(U,V)

(ucosθ+vsinθ)2a2+(usinθ+vcosθ)2b2=1,
ou seja, que também pode ser expresso como Definir em fornece . enquanto a diferenciação implícita de em relação a dá σ 2
(cos2θa2+sin2θb2)u2+(sin2θa2+cos2θb2)v2+((1a21b2)sin2θ)uv=1,
(1)σV2você2+σvocê2v2-2ρvocê,VσvocêσVvocêv=uma2b24
você=0 0(1)h=umabσvocê(1)você(1)(u,v)ρU,VσUv=σvu. H
σV22você+σvocê22vdvdvocê-2ρvocê,VσvocêσV(v+vocêdvdvocê)=0 0,
ou seja, a tangente à elipse é horizontal nos dois pontos da elipse para os quais O valor de pode ser calculado a partir disso e (no caso improvável de eu não ter cometido erros ao fazer os cálculos acima) levará ao resultado desejado.(1)(você,v)
ρvocê,Vσvocêv=σvvocê.
H

Essa é uma matriz de rotação ortogonal adequada, obrigado.
JohnK
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