Pode-se tirar qualquer conclusão sobre a cointegração de

Pode ser mostrado que, geralmente, a estatística de teste de co-integração de . Eu acredito que isso seja verdade para todos os testes de cointegração, portanto o teste específico usado é, talvez, irrelevante. $A, B \ne B,A$

No entanto, descobri que as duas estatísticas de teste geralmente são "fechadas": as duas estatísticas de teste estarão no mesmo nível de confiança.

Observe que, no meu trabalho, o método comum para testar a cointegração é testar uma raiz unitária na combinação linear das duas séries (série residual AKA). Geralmente, farei isso usando o teste do ADF e comparando a estatística do teste resultante com os níveis de confiança necessários para rejeitar a hipótese nula.

Minhas perguntas:

Há algo formal que pode ser dito sobre a comparação entre e ? $coint(A,B)$ $coint(B,A)$
Existe uma razão técnica convincente para preferir uma orientação variável sobre a outra?
As respostas para 1 ou 2 são específicas para o teste de cointegração? Em caso afirmativo, há algo particularmente relevante para a metodologia de teste de cointegração que descrevi acima?

Obrigado.

EDITAR:

Aqui está um exemplo, conforme solicitado. Eu uso o Python na maior parte do meu trabalho estatístico.

A estatística de teste do ADF para a primeira combinação linear (série residual AKA) é -35.9199966497e -35.7190914946para a segunda combinação linear.

Obviamente, este é um exemplo bastante extremo, mas existem muitos outros.

Ordem dos gráficos no gráfico:

Série residual 1
Gráfico de dispersão com a linha de melhor ajuste, orientação (x, y).
Série residual 2
Gráfico de dispersão com a linha de melhor ajuste, (y, x) orientação.
Gráfico das duas curvas brutas.

Espero que isso esclareça as coisas.

time-series cointegration

— d0rmLife
fonte

A que teste de cointegração você está se referindo? Existem muitos deles.

— Richard Hardy

@RichardHardy Tenho mais experiência com o ADF, mas entendo que nenhum teste de cointegração é comutativo.

— d0rmLife

O ADF não é um teste de cointegração, embora constitua a segunda etapa do teste de cointegração Engle-Granger. Você quis dizer esse?

— Richard Hardy

Minha experiência do que é ou não está implícito no contexto da cointegração é bem diferente e, portanto, ser explícito só pode ajudar. Sua elaboração ainda está incompleta; lembre-se de que os valores críticos usados no teste do ADF geralmente são diferentes dos valores críticos usados no teste de Engle-Granger, se não me engano. Portanto, é melhor deixar claro. Por que isso é relevante para a questão? Porque você diz que eu descobri que as duas estatísticas de teste geralmente são "fechadas" sem deixar claro de que estatísticas você está falando. Por isso perguntei.

— Richard Hardy

Você pode mostrar um exemplo em que os resultados diferem na troca (A, B)?

— Glen_b -Reinstala Monica

Respostas:

Por duas vezes série e de ser cointegradas estão reunidas duas condições: $X_t$ $Y_t$

e deve ser processos, isto é, e deve ser processos estacionários (em um sentido fraco, ou seja covariância estacionária). $X_t$ $Y_t$ $I(1)$ $\Delta X_t$ $\Delta Y_t$
Existe um conjunto de coeficientes de de tal modo que o tempo série é um processo estacionário. O vetor é chamado vetor de cointegração. $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$ $Z_t=\alpha X_t+\beta Y_t$ $(\alpha,\beta)$

Como a estacionariedade é invariante para mudar e escalar, segue-se imediatamente que os coeficientes e não são definidos de forma única, ou seja, são únicos até a constante multiplicativa. $\alpha$ $\beta$

Os testes de cointegração vêm em duas variedades:

Testes em resíduos de regressão de em . $Y_t$ $X_t$
Testes na classificação da matriz em uma representação de correção de erro vetorial de . $(Y_t,X_t)$

Ambas as variedades contam com certos resultados teóricos, a saber:

OLS de em fornece uma estimativa consistente do vetor de cointegração $Y_t$ $X_t$
Teorema da representação de Granger.

A questão do OP é sobre a primeira variedade de testes. Nestes testes, temos uma escolha: estimar a regressão ou em . Naturalmente estes dois regressões vai dar dois vectores de cointegração e $Y_t=a_1+b_1 X_t+u_t$ $X_t=a_2+b_2 Y_t+v_t$ $Y_t$ $(-\hat b_1, 1)$ . Mas, devido ao acima resultado teórico mencionado os limites de probabilidade de e deve ser o mesmo, uma vez que o vetor de cointegração é de única para uma constante. $(1, -\hat b_2)$ $-\hat b_1$ $-1/\hat b_2$

Devido às propriedades algébricas de OLS as séries residuais e não são idênticas, embora do ponto de vista teórico elas tanto deve ser igual a $\hat u_t$ $\hat v_t$ e $\frac{1}{\beta}Z_t$ respectivamente, ou seja, eles devem ser idênticos à constante multiplicativa. Se a sérieesão cointegradas entãoé uma série estacionário, de modo que uma vez queeaproximadapodemos testar se eles são estacionários. $\frac{1}{\alpha}Z_t$ $X_t$ $Y_t$ $Z_t$ $\hat u_t$ $\hat v_t$ $Z_t$

É assim que a primeira variedade de testes de cointegração é realizada. Naturalmente desde o e são diferentes todos os testes sobre eles será diferente também. Mas, do ponto de vista teórico, qualquer diferença é simplesmente um viés de amostra finita, que deve desaparecer assintoticamente. $\hat u_t$ $\hat v_t$

Se a diferença entre os testes de estacionaridade em série e é estatisticamente significativa, esta é uma indicação de que as séries não são cointegrados, ou suposições de estacionaridade testes não forem satisfeitas. $\hat u_t$ $\hat v_t$

Se tomarmos teste ADF como um teste de estacionariedade para resíduos Eu acho que seria possível derivar distribuição assintótica de diferença entre as estatísticas ADF na e . Se isso teria algum valor prático, eu não sei. $\hat u_t$ $\hat v_t$

Então, para resumir as respostas para as três perguntas, são as seguintes:

Veja acima.
Não.
A distribuição assintótica da diferença dos testes dependeria do teste. Sua metodologia está bem. Se as séries temporais forem cointegradas, ambas as estatísticas deverão indicar isso. No caso de não haver cointegração, ambas as estatísticas rejeitarão a estacionariedade ou uma delas. Nos dois casos, você deve rejeitar a hipótese nula de cointegração. Como no teste de raiz da unidade, você deve proteger-se contra tendências temporais, pontos de mudança e todas as outras coisas que tornam o procedimento de teste de raiz da unidade bastante desafiador.

— mpiktas
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Se a diferença entre os testes de estacionaridade em série e é estatisticamente significativa, esta é uma indicação de que as séries não são cointegradas $\hat u_t$ $\hat v_t$ : que quer dizer que existe uma relação directa entre a diferença (empírico) em estacionaridade

e presença / ausência de cointegração? (Eu não vê-lo.) O que eu acho é que, se eu posso rejeitar a hipótese nula de não cointegração usando

, mas não

então: (1) se eu sou conservador eu vou não

{\hat{u}}_{t}

$\hat u_t$

{\hat{v}}_{t}

$\hat v_t$

{\hat{u}}_{t}

$\hat u_t$

{\hat{v}}_{t}

$\hat v_t$ rejeitar "sem cointegração"; (2) se eu for agressivo, rejeitarei "nenhuma cointegração".

— Richard Hardy

Não, eu não acho isso. Como eu disse, seria possível derivar a distribuição assintótica da diferença entre as estatísticas, ou geralmente examinar quais são as propriedades teóricas dessa diferença. Eu apostaria que os dois testes de estacionariedade rejeitam a estacionariedade ou os dois a aceitam. O que eu estava tentando dizer é que, se você vê algo contra-intuitivo, ou seja, conclusões diferentes dos testes de estacionariedade, quando teoricamente deveriam ser os mesmos, isso é uma indicação de que algo não está certo, ou seja, eu estava defendendo a abordagem conservadora.

— mpiktas

OK, eu concordo com tudo isso - exceto pelo que você sugeriu rejeitar a hipótese nula, que eu acho mais agressiva do que conservadora.

— Richard Hardy

Portanto, a resposta mais popular das estatísticas está aparentemente correta para esta pergunta: "depende".

Um bom palpite pode ser feito sobre a similaridade das estatísticas dos testes de cointegração de ordenações únicas de variáveis de entrada, dado que os vetores de séries temporais apresentam variações baixas e semelhantes.

Isso está implícito no cálculo da estatística do teste de cointegração: quando as variações dos vetores de séries temporais de entrada forem baixas e semelhantes, os coeficientes de cointegração serão semelhantes (ou seja, múltiplos aproximadamente escalares um do outro), resultando no resíduo residual. séries sendo múltiplos escalares um do outro. Séries residuais semelhantes implicam estatísticas de teste de cointegração semelhantes. No entanto, quando as variações são grandes ou diferentes, não há garantia implícita de que as séries residuais sejam até múltiplos aproximadamente escalares uma da outra, o que, por sua vez, torna a estatística do teste de cointegração variável.

Formalmente:

Considere o modelo de regressão simples, usado para encontrar o coeficiente de cointegração para casos bivariados.

{\hat{β}}_{x y} = \frac{C o v [x, y]}{σ_{x}^{2}}

$\hat{\beta}_{xy} = {Cov[x,y] \over \sigma_x^2 }$

{\hat{β}}_{y x} = \frac{C o v [y, x]}{σ_{y}^{2}}

$\hat{\beta}_{yx} = {Cov[y,x] \over \sigma_y^2 }$

$Cov[x,y] = Cov[y,x]$

$\sigma^2_x \neq \sigma^2_y$

$\hat{\beta}_{xy}$ $\hat{\beta}_{yx}$

x_{t} - γ^{1} y_{t} = ϵ_{t}^{1}

$x_t - \gamma^1 y_t = \epsilon_t^1$

y_{t} - γ^{2} x_{t} = ϵ_{t}^{2}

$y_t - \gamma^2 x_t = \epsilon_t^2$

$\gamma = \hat{\beta}$ $\gamma^1 \neq a*\gamma^2$ $a$

Isso mostra dois fatos sobre a cointegração:

A ordem das variáveis nos testes de cointegração é importante devido à variação dos vetores individuais das séries temporais. Isso afeta a relação entre os coeficientes de cointegração das várias orientações variáveis, devido à forma como o coeficiente de cointegração é calculado.
As séries residuais podem ou não ser "semelhantes" entre si: a semelhança depende das variações dos vetores individuais das séries temporais.

Esses fatos implicam que as séries residuais formadas por ordens variáveis únicas não são apenas diferentes, mas provavelmente não são múltiplos escalares entre si.

Então, qual pedido escolher? Depende da aplicação.

$-1 * \alpha$ $\alpha$

Portanto, finalmente, se os vetores de séries temporais que estão sendo testados para cointegração tiverem variações baixas e similares, pode-se supor corretamente que a estatística do teste de cointegração terá um nível de confiança semelhante. Em geral, provavelmente é melhor testar ambas as orientações, ou pelo menos considerar as variações dos vetores de séries temporais, a menos que haja uma razão predominante para favorecer uma orientação.

— d0rmLife
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Você está ciente de que o conceito de cointegração se aplica a várias séries temporais e não se restringe apenas a duas? Você também sabe que o padrão de fato para testes de cointegração é o procedimento de Johansen, que não apresenta problemas de assimetria?

— Mvctas

Como a definição de cointegração não permite assimetria, qualquer procedimento de teste que dê resultados diferentes está errado por padrão. No seu caso (que é chamado pelo procedimento de Engle-Granger e não é o único teste de cointegração disponível!), Se você obtiver resultados conflitantes com base no pedido, isso significa que sua série não satisfaz as suposições do teste.

— mpiktas 07/12/2015

@mpiktas 1) Sim, eu sei, e foi por isso que disse "... para casos bivariados". 2) Não concordo com sua reivindicação de normalidade. Em certas indústrias, o EG 2-step com ADF é muito popular. Além disso, Johansen tem problemas com pequenos conjuntos de dados, portanto, certamente não é um padrão em todos os casos, mas é realmente muito popular para casos multivariados. 3) Você pode fornecer uma referência para onde e por que a cointegração não permite assimetria?

— precisa saber é o seguinte

Em conjuntos de dados pequenos, você também teria problemas com o ADF. Quão pequeno estamos falando? No que diz respeito à assimetria, a definição de cointegração não permite. Duas séries são cointegradas se forem 1) I (1) 2) sua combinação linear é I (0). Portanto, se uma série é cointegrada com outra, por definição, essa série é cointegrada à primeira. Não há espaço para assimetria.

— mpiktas

@mpiktas você consideraria dar uma resposta?

— Glen_b -Reinstala Monica