Métodos de rotação de fatores (varimax, oblimin etc.) - o que significam os nomes e o que os métodos fazem?

A análise fatorial possui vários métodos de rotação, como varimax, quartimax, equamax, promax, oblimin, etc. Não consigo encontrar nenhuma informação que relacione seus nomes a seus reais atos matemáticos ou estatísticos. Por que é chamado "equa-max" ou "quarti-max"? De que maneira os eixos ou matrizes são rotacionados para que tenham esse nome?

Infelizmente, a maioria deles foi inventada nas décadas de 1950 e 1970, então não posso entrar em contato com seus autores.

Esta resposta sucede a essa pergunta geral sobre rotações na análise fatorial (leia-a) e descreve brevemente vários métodos específicos.

As rotações são executadas iterativamente e em cada par de fatores (colunas da matriz de carregamento). Isto é necessário porque a tarefa de optimizar ( max imize ou min imize) o critério objectivo simultaneamente para todos os factores seria matematicamente difícil. No entanto, no final, a matriz de rotação final é montada para que você possa reproduzir a rotação com ela, multiplicando as cargas extraídas por ela, , obtendo a matriz da estrutura fatorial rotativa . O critério objectivo é alguma propriedade dos elementos (loadings) de matriz resultante .$\bf Q$$\bf A$$\bf AQ=S$$\bf S$$\bf S$

Quartimax rotação ortogonal procura max imize a soma de todas as cargas levantadas ao poder 4 em . Daí o seu nome ("quarti", quatro). Foi demonstrado que atingir esse objetivo matemático corresponde o suficiente para satisfazer o critério de "estrutura simples" da 3ª Thurstone, que soa como: para cada par de fatores, existem várias (idealmente> = m) variáveis ​​com cargas próximas de zero para qualquer um dos dois e longe de zero para o outro fator . Em outras palavras, haverá muitas cargas grandes e pequenas; e os pontos no gráfico de carga traçados para um par de fatores rotacionados ficariam, idealmente, próximos a um dos dois eixos. O Quartimax minimiza o número de fatores necessários para explicar uma variável$\bf S$: "simplifica" as linhas da matriz de carregamento. Mas o quartimax geralmente produz o chamado "fator geral" (que na maioria das vezes não é desejável na FA de variáveis; é mais desejável, acredito, na chamada FA de modo Q dos entrevistados).

Varimax tentativas de rotação ortogonal ao máximo imize variação das cargas quadrados em cada fator em . Daí o seu nome ( var Aliança). Como resultado, cada fator possui apenas poucas variáveis ​​com grandes cargas pelo fator$\bf S$. A Varimax "simplifica" diretamente as colunas da matriz de carregamento e, com isso, facilita muito a interpretabilidade dos fatores. No gráfico de carregamento, os pontos são espalhados ao longo de um eixo fatorial e tendem a polarizar-se em quase zero e longe de zero. Essa propriedade parece satisfazer uma mistura da estrutura simples de Thurstones, até certo ponto. A Varimax, no entanto, não é segura de produzir pontos distantes dos eixos, isto é, variáveis ​​"complexas" carregadas com mais de um fator. Se isso é ruim ou correto, depende do campo do estudo. A Varimax tem bom desempenho principalmente em combinação com a chamada normalização de Kaiser(equalizando as comunidades temporariamente durante a rotação), é recomendável sempre usá-lo com varimax (e recomendado com qualquer outro método também). É o método de rotação ortogonal mais popular, especialmente em psicometria e ciências sociais.

A rotação ortogonal do Equamax (raramente, Equimax) pode ser vista como um método que aprimora algumas propriedades do varimax. Foi inventado na tentativa de melhorá-lo. Equalização refere-se a uma ponderação especial que Saunders (1962) introduziu em uma fórmula funcional do algoritmo. O Equamax se ajusta automaticamente para o número de fatores em rotação. Ele tende a distribuir variáveis ​​(altamente carregadas) de maneira mais uniforme entre os fatores do que o varimax e, portanto, é menos propenso a fornecer fatores "gerais". Por outro lado, o equamax não foi concebido para abandonar o objetivo do quartimax de simplificar linhas; equamax é uma combinação de varimax e quartimaxdo que o meio termo. No entanto, afirma-se que o equamax é consideravelmente menos "confiável" ou "estável" do que o varimax ou o quartimax: para alguns dados, pode dar soluções desastrosamente ruins, enquanto para outros dados fornece fatores perfeitamente interpretáveis ​​com estrutura simples. Mais um método, semelhante ao equamax e ainda mais arriscado na busca de uma estrutura simples, é chamado parsimax ("maximizando a parcimônia") (veja Mulaik, 2010, para discussão).

Lamento para parar agora e não rever os métodos oblíquos - oblimin ( "oblíquo", com "minimizar" um critério) e promax (irrestritos pro crustes rotação após vari max ). Os métodos oblíquos exigiriam parágrafos provavelmente mais longos para descrevê-los, mas não planejei nenhuma resposta longa hoje. Ambos os métodos são mencionados na nota de rodapé 5 desta resposta . Posso referir-lhe Mulaik, Fundamentos da análise fatorial (2010); livro clássico de Harman, análise fatorial moderna (1976); e o que aparecer na internet quando você pesquisar.

Veja também A diferença entre as rotações varimax e oblimin na análise fatorial ; O que significa "varimax" na análise fatorial do SPSS?

Os métodos de rotação otimizam as funções heurísticas com o objetivo de "simplificar" as cargas fatoriais. A simplicidade pode ser definida de várias maneiras diferentes. Os mais usados ​​são de Thurnstone [2]: escarsidade , simplicidade e parcimônia de coluna, simplicidade de linha (ou complexidade). A maioria dos critérios de rotação aborda um ou outro de ambos, seus nomes não são realmente importantes.

Critérios únicos são incluídos em famílias de critérios: o mais abrangente é o de Crawford-Ferguson, equivalente à família Orthomax para rotações ortogonais. Essas famílias fornecem uma ponderação dos dois requisitos de simplicidade controlados por diferentes parâmetros. Ao alterá-los, quase todos os critérios de rotação conhecidos podem ser obtidos. Uma visão geral excelente e acessível dos métodos de rotação é o documento Browne.

[1] M. Browne, Uma visão geral da rotação analítica na análise fatorial exploratória, Multivariate Behavioral Research 36 (2001), pp. 111-150.

[2] L. Thurstone, análise de fatores múltiplos, The University of Chicago Press, 1947