Transformação de estatísticas de pedidos

Suponha que as variáveis aleatórias e sejam independentes e -distribuídas. Mostre que possui um distribuição de . $X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

Comecei esse problema definindo $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ Em seguida, o $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ seria distribuído como $(\frac{z}{a})^{2n}$ e $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ seria distribuído como $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ As densidades podem ser encontradas facilmente como $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ e $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

É aqui que estou tendo dificuldades para saber para onde ir agora, agora que são calculadas. Estou pensando que tem que fazer algo com uma transformação, mas não tenho certeza ...

self-study data-transformation order-statistics

— Susan
fonte

Certamente você precisa assumir, além disso, que não são apenas os

X_{i}

$X_i$ e

Y_{i}

$Y_i$ iid, mas também os

X_{i}

$X_i$ são independentes do

Y_{j}

$Y_j$ . Dado isso, você pensou em trabalhar diretamente com o

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$ ?

— whuber

@whuber meu pensamento do seu comentário seria criar uma transformação onde eu resolva a densidade de n * log (Z )?

_{i}

$_i$

— 31515 Susan Susan

Fiz uma pequena reformatação (especialmente transformando e em e ), mas se você não gostar, é possível reverter para a versão anterior (clicando no link "editado <x> atrás" acima do meu gravatar na parte inferior da sua postagem) e clique no link "reverter" acima da sua versão anterior.

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

— Glen_b -Reinstala Monica

Susan, você parece ter interpretado mal / interpretado mal a pergunta. A questão procura a razão de O denominador refere-se a : onde é a estatística de pedido máximo de s, e é a estatística de pedido máximo de s. Em outras palavras, procura min (maxX, Maxy), não o mínimo de todos os s e s, então você não pode usar seu truque Z aplainar / combinar todos os valores X e Y. .......

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

— wolfies

De qualquer forma, e como uma questão separada, não há nenhum ponto (como você fez) para calcular a densidade de e, separadamente, a densidade de , porque as diferentes estatísticas de ordem não são geralmente independente. Para encontrar a razão de , seria necessário primeiro encontrar o pdf conjunto de , se esse era o problema na mão (o que não é).

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

— wolfies

Respostas:

Esse problema pode ser resolvido apenas a partir das definições: o único cálculo avançado é a integral de um monômio.

Observações preliminares

Vamos trabalhar com as variáveis e todo: isso não muda mas faz iid com Uniforme distribuições, eliminando todas as aparências distração de nos cálculos. Assim, podemos assumir sem qualquer perda de generalidade. $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

Observe que a independência do e sua distribuição uniforme implica que, para qualquer número para o qual , $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

Pr (y \geq Y_{(n)}) = Pr (y \geq Y_{1}, \dots, y \geq Y_{n}) = Pr (y \geq Y_{1}) \dots Pr (y \geq Y_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

com um resultado idêntico mantendo para . Para referência futura, isso nos permite calcular $X_{(n)}$

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

Solução

Seja um número real positivo. Para encontrar a distribuição de , substitua sua definição e simplifique a desigualdade resultante: $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Pr (\exp (Z_{n} / n) > e^{t / n}) \\ = Pr (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > e^{t / n}) \\ = Pr (e^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

Esse evento divide-se em dois casos equiprobáveis, dependendo de ou ser o menor dos dois (e sua interseção, com probabilidade zero, pode ser ignorada). Portanto, precisamos calcular apenas a chance de um desses casos (digamos, onde é menor) e duplicá-la. Desde , , permitindo-nos (ao deixar desempenhar o papel de ) aplicar os cálculos na seção preliminar: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Pr (Z_{n} > t) = 2 Pr (e^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2 E [{(e^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = e^{- t} E [2 X_{(n)}^{n}] = e^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

É isso que significa para ter uma distribuição Exp . $Z_n$ $(1)$

— whuber
fonte

Vou esboçar a solução, aqui, usando um sistema de álgebra computacional para fazer as pequenas coisas ...

Solução

Se for uma amostra do tamanho no pai , o pdf do máximo da amostra será: e similarmente para . $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$

f_{n} (x) = \frac{n}{a^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

Abordagem 1: Encontre o pdf conjunto de $(X_{(n)},Y_{(n)})$

Como e são independentes, o pdf conjunto dos 2 máximos da amostra é simplesmente o produto dos 2 pdfs, digamos : $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

Dado . Então, o cdf de é é: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

onde estou usando a Probfunção do pacote mathStatica para o Mathematica automatizar. A diferenciação de cdf wrt produz o pdf de como exponencial padrão. $z$ $Z_n$

Abordagem 2: estatísticas de pedidos

Podemos usar as estatísticas de pedidos para "ignorar" a mecânica de ter que lidar com as funções Max e Min.

Mais uma vez: Se é uma amostra do tamanho no pai , o pdf do máximo da amostra é, digamos, : $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

Os máximos da amostra e são apenas dois desenhos independentes dessa distribuição de ; ou seja, as estatísticas de ordem e de (em uma amostra do tamanho 2) são exatamente o que estamos procurando: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

O pdf conjunto de , em uma amostra de tamanho 2, digamos , É: $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

Dado . Então, o cdf de é é: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

A vantagem dessa abordagem é que o cálculo da probabilidade não envolve mais as funções max / min, o que pode facilitar a expressão da derivação (especialmente à mão).

De outros

Conforme meu comentário acima, parece que você interpretou mal a pergunta ...

Somos convidados a encontrar:

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

onde o denominador é min (Xmax, yMax), ... não o mínimo de todos os 's e ' s. $X$ $Y$

— wolfies
fonte

Seguindo o seu rascunho, entendo como interpretei mal a pergunta. Entendo como calcular o pdf conjunto dos dois máximos da amostra, mas ainda não sei como interpretar a razão max / min.

— 6605 Susan

Adicionei uma derivação alternativa usando estatísticas de pedidos, que 'contornam' o máximo / min.

— wolfies

Se você tivesse começado com os registros dos dados, Susan, estaria analisando as diferenças de estatísticas de pedidos em vez de proporções .

— whuber

Não estou convencido de que usar cálculos formais por computador seja a melhor maneira de explicar a razão pela qual a razão é uma variável aleatória Exp (1).

— Xian

Bom ponto ... exceto que o OP não pergunta o motivo ... mas para mostrar que é Exp [1]. Também não tenho certeza se isso é ou não um dever de casa (ou uma tarefa) ... e essa é realmente uma boa vantagem de usar um computador: um fornece as etapas a seguir, verifica o resultado, para que se tenha a abordagem correta , mas a mecânica ainda é deixada para o OP. Seria bom alguém explorar a sugestão do @ whuber de fazer registros no início.

— wolfies