(Referências) Como derivar modelos de design experimental, em vez de apenas memorizá-los?

Na aula de Métodos de Estatística em nível de MS que estou aprendendo, aprendi sobre vários modelos lineares para o design experimental. Tomemos, por exemplo, para o modelo Randomized Complete Block Design (RCBD) ( i representando o bloco, j representando os tratamentos), β representando os efeitos do bloco, τ osefeitos(fixos) do tratamento, ε i j após alguma distribuição N ( 0 , σ 2 ε ) .

$$Y_{ij} = \mu + \beta_i + \tau_j + \varepsilon_{ij}\,,$$ $i$$j$$\beta$$\tau$$\varepsilon_{ij}$$\mathcal{N}(0, \sigma^2_{\varepsilon})$

Por mais intuitivo que esse modelo possa parecer, eu gostaria de aprofundar um nível e entender como esse modelo é derivado, em vez de apenas memorizar a equação.

Pergunta: Alguém pode me indicar uma fonte que derivaria essa equação para o RCBD e outros modelos de projeto experimental?

Editado devido à resposta : a razão pela qual eu pergunto isso é porque, nas respostas planas de Christansen às perguntas complexas (apêndice G), ele deriva a equação de amostragem aleatória simples , a equação do projeto completamente aleatório y i j = μ i + e i j e a equação do projeto completo aleatório de blocos y i j = α i + β j + e i $y_i = \mu + e_i$$y_{ij} = \mu_i + e_{ij}$$y_{ij} = \alpha_i + \beta_j + e_{ij}$como "boas aproximações aos modelos mais apropriados baseados na teoria da randomização". Antes, ele afirma

[S] estatísticas tem tradicionalmente designado a teoria da randomização como uma área de estatística não paramétrica. A teoria da randomização também é de especial interesse na teoria do projeto experimental, porque a randomização tem sido usada para justificar a análise de experimentos projetados.

Então, acho que o que realmente estou pedindo é um livro sobre teoria da randomização que cubra as derivações dessas e de equações similares, relacionadas ao projeto experimental.

Exemplo de prova de um tal (tirado de Christiansen): observações suponha são escolhidos ao acaso (sem substituição) a partir de uma população maior finito (suposição simples amostra aleatória feita a partir de teoria randomização). Suponhamos que os elementos da população são s 1 , ... , s N . Podemos definir variáveis aleatórias de amostragem elementar para i = 1 , ... , n e j = 1 , ... , N : δ i j = { 1 , y $y_i$$s_1, \dots, s_N$$i = 1, \dots, n$$j = 1, \dots, N$ Usando amostragem aleatória simples sem substituição, E[δ i j ]=P(δ i j =1)=

$$\delta^{i}_j = \begin{cases} 1, & y_i = s_j \\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases}$$ E[δ i j δ i ′ j ′ ]=P(δ i j δ i ′ j ′ =1)={ 1 / N ( i , j ) = ( i ′ , j ′ ) 1 / [ N ( N - 1 ) ] i ≠ i ' , j $$\mathbb{E}[\delta^{i}_j] = \mathbb{P}(\delta^{i}_j = 1) = \dfrac{1}{N}$$ Se escreverμ=Σ N j = 1 sj/Neσ2=Σ N j = 1 (sj-μ)2/N, então yi= N Σ j=1δ i j sJ=μ+ N ∑ j=1δ i $$\mathbb{E}[\delta^{i}_j\delta^{i^{\prime}}_{j^{\prime}}] = \mathbb{P}(\delta^{i}_j\delta^{i^{\prime}}_{j^{\prime}} = 1) = \begin{cases} 1/N & (i, j) = (i^{\prime}, j^{\prime}) \\ 1/[N(N-1)] & i \neq i^{\prime}, j \neq j^{\prime} \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$ $\mu = \sum_{j=1}^{N}s_j / N$$\sigma^2 = \sum_{j=1}^{N}(s_j - \mu)^2/N$ Deixando e i = ∑ N j = 1 δ i j ( s j - μ ) fornece o modelo linear y i = μ + e i $$y_i = \sum_{j=1}^{N}\delta^{i}_js_j = \mu+\sum_{j=1}^{N}\delta^{i}_{j}(s_j - \mu)$$ $e_i = \sum_{j=1}^{N}\delta^{i}_{j}(s_j - \mu)$ $$y_i = \mu + e_i\text{.}$$

Você está pedindo uma derivação, mas eu argumentaria que essa fórmula não é derivável. Ele se destaca por si só como uma codificação matemática do mundo exterior. A matemática não se importa com o que é um "bloco", mas você sim. E se você acredita que pode ser modelado como uma fonte aditiva de variação, provavelmente terminará com o modelo linear que você propôs acima. Mas os blocos podem interagir com os tratamentos, por exemplo, e então o modelo que você propôs acima estaria errado. Você não pode derivar qual é o modelo "correto" para o mundo.

Você pediu referências, e talvez um bom lugar para procurar sejam alguns dos escritos de RA Fisher sobre design experimental, como O design de experimentos (1960) . Ele nem traz o modelo linear e, em vez disso, concentra-se em particionar a variação por meio de uma Análise de variação. Estou curioso para saber se Fisher pensou em termos de modelo linear no momento em que dividia a variação dessa maneira, e talvez a coisa mais próxima de uma derivação seria mostrar a equivalência da clássica Análise de Variância e a linear. modelo, se você considerar que o primeiro é auto-evidente.