Distribuição da razão entre duas variáveis aleatórias uniformes independentes

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Supppse $X$ e $Y$ são padrão distribuídos uniformemente em $[0, 1]$ e são independentes, qual é o PDF de $Z = Y / X$ ?

A resposta de algum livro de teoria da probabilidade é

f_{Z} (z) = {\begin{cases} 1 / 2, & if 0 \leq z \leq 1 \\ 1 / (2 z^{2}), & if z > 1 \\ 0, & otherwise . \end{cases}

$f_Z(z) = \begin{cases} 1/2, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ 1/(2z^2), & \text{if } z > 1 \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

Estou pensando, por simetria, não deveria ? Este não é o caso, de acordo com o PDF acima. $f_Z(1/2) = f_Z(2)$

probability derived-distributions

— qed
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Qual é o domínio de

X

$X$ e

Y

$Y$ ?

— Sobi 08/12/2015

en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

— kjetil b halvorsen

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Por que você espera que isso seja verdade? A função de densidade diz-lhe como bem embalado a probabilidade é na vizinhança de um ponto, e é claramente mais difícil para

Z

$Z$ para estar perto de

2

$2$ de

1 / 2

$1/2$ (considere, por exemplo, que

Z

$Z$ pode ser sempre

1 / 2

$1/2$ não importa o

X

$X$ é, mas

Z < 2

$Z < 2$ quando

X > 1 / 2

$X > 1/2$ ).

— dsaxton

2

Possível duplicata de Distribuição de uma proporção de uniformes: O que está errado?

— Xian

3

Não acho que seja uma cópia duplicada, essa pergunta está buscando o PDF, aqui estou o PDF, estou apenas questionando sua correção (talvez um tanto ingênua).

— Qd #

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A lógica correta é que, com $X, Y \sim U(0,1)$ , $Z=\frac YX$ e $Z^{-1} =\frac XY$ tem a mesmadistribuiçãoe, portanto, para $0 < z < 1$

\begin{aligned} P {\frac{Y}{X} \leq z} & = P {\frac{X}{Y} \leq z} \\ = P {\frac{Y}{X} \geq \frac{1}{z}} \\ F_{Z} (z) & = 1 - F_{Z} (\frac{1}{z}) \end{aligned}

$\begin{align} P\left\{\frac YX \leq z\right\} &= P\left\{\frac XY \leq z\right\}\\ &= P\left\{\frac YX \geq \frac 1z \right\}\\ \left.\left.F_{Z}\right(z\right) &= 1 - F_{Z}\left(\frac 1z\right) \end{align}$ onde a equação com CDFs usa o fato de que

\frac{Y}{X}

$\frac YX$ é uma variável aleatória contínua e, portanto,

P {Z \geq a} = P {Z > a} = 1 - F_{Z} (a)

$P\{Z \geq a\} = P\{Z > a\} = 1-F_Z(a)$ . Portanto, o pdf de

Z

$Z$ satisfaz

Assim,

f_{Z} (z) = z^{- 2} f_{Z} (z^{- 1}), 0 < z < 1.

$f_Z(z) = z^{-2}f_Z(z^{-1}), \quad 0 < z < 1.$

e não

f_{Z} (\frac{1}{2}) = 4 f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = 4f_Z(2)$

como você pensou que deveria ser.

f_{Z} (\frac{1}{2}) = f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = f_Z(2)$

— Dilip Sarwate
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Essa distribuição é simétrica - se você a observar da maneira certa.

A simetria que você observou (corretamente) é que e devem ser distribuídos de forma idêntica. Ao trabalhar com relações e potências, você está realmente trabalhando no grupo multiplicativo dos números reais positivos. O análogo da medida invariante da localização nos números reais aditivos é a medida invariante da escala $Y/X$ $X/Y = 1/(Y/X)$ $d\lambda=dx$ $\mathbb{R}$ $d\mu = dx/x$ do grupo multiplicativo de números reais positivos. Possui estas propriedades desejáveis: $\mathbb{R}^{*}$

é invariável sob a transformação para qualquer constante positiva : $d\mu$ $x\to ax$ $a$
$d μ (a x) = \frac{d (a x)}{a x} = \frac{d x}{x} = d μ .$ $d\mu(ax) = \frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x} = d\mu.$
é covariante sob a transformação para números diferentes de zero : $d\mu$ $x\to x^b$ $b$
$d μ (x^{b}) = \frac{d (x^{b})}{x^{b}} = \frac{b x^{b - 1} d x}{x^{b}} = b \frac{d x}{x} = b d μ .$ $d\mu(x^b) = \frac{d(x^b)}{x^b} = \frac{b x^{b-1} dx}{x^b} = b\frac{dx}{x} = b\, d\mu.$
é transformado em através do exponencial: $d\mu$ $d\lambda$ Da mesma forma,é transformado novamente ematravés do logaritmo.
$d μ (e^{x}) = \frac{d e^{x}}{e^{x}} = \frac{e^{x} d x}{e^{x}} = d x = d λ .$ $d\mu(e^x) = \frac{de^x}{e^x} = \frac{e^x dx}{e^x} = dx = d\lambda.$ $d\lambda$ $d\mu$

(3) estabelece um isomorfismo entre os grupos medidos e . A reflexão no espaço aditivo corresponde à inversão no espaço multiplicativo, porque $(\mathbb{R}, +, d\lambda)$ $(\mathbb{R}^{*}, *, d\mu)$ $x \to -x$ $x \to 1/x$ . $e^{-x} = 1/e^x$

Vamos aplicar essas observações escrevendo o elemento de probabilidade de em termos de (entendendo implicitamente que ) em vez de : $Z=Y/X$ $d\mu$ $z \gt 0$ $d\lambda$

f_{Z} (z) d z = g_{Z} (z) d μ = \frac{1}{2} {\begin{cases} 1 d z = z d μ, & if 0 \leq z \leq 1 \\ \frac{1}{z^{2}} d z = \frac{1}{z} d μ, & if z > 1. \end{cases}

$f_Z(z)\,dz = g_Z(z)\,d\mu = \frac{1}{2}\begin{cases} 1\,dz = z\, d\mu, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ \frac{1}{z^2}dz = \frac{1}{z}\, d\mu, & \text{if } z > 1. \end{cases}$

Ou seja, o PDF com relação à medida invariante $d\mu$ é , proporcional a quando e a quando , próximo ao que você esperava. $g_Z(z)$ $z$ $0\lt z \le 1$ $1/z$ $1 \le z$

Este não é um mero truque pontual. Compreender o papel de faz com que muitas fórmulas pareçam mais simples e mais naturais. Por exemplo, o elemento de probabilidade da função Gamma com o parâmetro , $d\mu$ $k$ se torna . É mais fácil trabalhar com que com ao transformar , redimensionando, obtendo poderes ou exponenciando. $x^{k-1}e^x\,dx$ $x^k e^x d\mu$ $d\mu$ $d\lambda$ $x$

A idéia de uma medida invariável em um grupo também é muito mais geral e tem aplicações nessa área de estatística em que os problemas exibem alguma invariância em grupos de transformações (como alterações de unidades de medida, rotações em dimensões mais altas etc.) )

— whuber
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Parece uma resposta muito perspicaz. É uma pena que eu não o entenda no momento. Voltarei mais tarde.

— qed

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Se você pensa geometricamente ...

No plano - , curvas da constante são linhas através da origem. ( é a inclinação.) É possível ler o valor de de uma linha através da origem, encontrando sua interseção com a linha . (Se você já estudou o espaço projetivo: aqui é a variável de homogeneização, observar os valores na fatia é uma coisa relativamente natural a se fazer.) $X$ $Y$ $Z = Y/X$ $Y/X$ $Z$ $X=1$ $X$ $X=1$

Considere um pequeno intervalo de s, . Esse intervalo também pode ser discutido na linha como o segmento de linha de a . O conjunto de linhas através da origem que passa por esse intervalo forma um triângulo sólido no quadrado $Z$ $(a,b)$ $X=1$ $(1,a)$ $(1,b)$ $(X,Y) \in U = [0,1]\times[0,1]$ , qual é a região na qual realmente estamos interessados. Se , a área do triângulo é $0 \leq a < b \leq 1$ , portanto, mantendo o comprimento do intervalo constante e deslizando-o para cima e para baixo na linha(mas não apósou), a área é a mesma, portanto, a probabilidade de escolher umno triângulo é constante; portanto, a probabilidade de escolher umno intervalo é constante. $\frac{1}{2}(1-0)(b-a)$ $X=1$ $0$ $1$ $(X,Y)$ $Z$

No entanto, para , o limite da região se afasta da linha e o triângulo é truncado. Se , as projeções abaixo das linhas desde a origem de e até o limite superior de estão nos pontos e $b>1$ $U$ $X = 1$ $1 \leq a < b$ $(1,a)$ $(1,b)$ $U$ $(1/a,1)$ $(1/b,1)$ . A área resultante do triângulo é . A partir disso, vemos que a área não é uniforme e, à medida que deslizamoscada vez mais para a direita, a probabilidade de selecionar um ponto no triângulo diminui para zero. $\frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})(1-0)$ $(a,b)$

Então a mesma álgebra demonstrada em outras respostas termina o problema. Em particular, retornando a última pergunta do OP, corresponde a uma linha que atinge , mas não faz, então a simetria desejada não se sustenta. $f_Z(1/2)$ $X=1$ $f_Z(2)$

— Eric Towers
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Só para constar, minha intuição estava totalmente errada. Estamos falando de densidade , não de probabilidade . A lógica correta é verificar se

\int_{1}^{k} f_{Z} (z) d z = \int_{1 / k}^{1} f_{Z} (z) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{k})

$\int_1^k f_Z(z) dz = \int_{1/k}^1 f_Z(z) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{k})$ ,

and this is indeed the case.

— qed
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Yea the link Distribution of a ratio of uniforms: What is wrong? provides CDF of $Z=Y/X$ . The PDF here is just derivative of the CDF. So the formula is correct. I think your problem lies in the assumption that you think Z is "symmetric" around 1. However this is not true. Intuitively Z should be a skewed distribution, for example it is useful to think when Y is a fixed number between $(0,1)$ and X is a number close to 0, thus the ratio would be going to infinity. So the symmetry of distribution is not true. I hope this help a bit.

— lzstat
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Distribuição da razão entre duas variáveis ​​aleatórias uniformes independentes

Distribuição da razão entre duas variáveis aleatórias uniformes independentes