O teorema de Slutsky ainda é válido quando duas seqüências convergem para uma variável aleatória não degenerada?

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Estou confuso sobre alguns detalhes sobre o teorema de Slutsky :

Seja $\{X_n\}$ , duas sequências de elementos aleatórios escalares / vetor / matriz. $\{Y_n\}$

Se convergir na distribuição para um elemento aleatório e convergir em probabilidade para uma constante , desde que seja invertível, em que denota convergência na distribuição. $X_n$ $X$ $Y_n$ $c$
$\begin{aligned} X_{n} + Y_{n} & \overset{d}{\to} X + c \\ X_{n} Y_{n} & \overset{d}{\to} c X \\ X_{n} / Y_{n} & \overset{d}{\to} X / c, \end{aligned}$ $\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$ $c$ ${\xrightarrow {d}}$

Se ambas as seqüências no teorema de Slutsky convergem para uma variável aleatória não degenerada, o teorema ainda é válido e, se não (alguém poderia dar um exemplo?), Quais são as condições extras para torná-lo válido?

— Nicolas H
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O teorema de Slutsky não se estende a duas seqüências convergindo em distribuições para uma variável aleatória. Se $Y_n$ converge em distribuição para $Y$ , $X_n+Y_n$ pode falhar a convergir ou pode convergir para algo mais do que $X+Y$ .

Por exemplo, se $Y_n=-X_n$ para todos os $n$ 's, $X_n+Y_n$ não converge para a diferença de dois RV com mesma distribuição que $X$ .

Outro contra-exemplo é que, quando as seqüências e são independentes e ambas convergem na distribuição para uma variável normal , se se define e , então $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$ $\text{N}(0,1)$ $X_1\sim\text{N}(0,1)$ $X_2=-X_1$ Vejaa resposta de Davidepara obter mais detalhes sobre este exemplo.

\begin{aligned} X_{n} & \overset{d}{\to} X_{1} \\ Y_{n} & \overset{d}{\to} X_{2} \\ X_{n} + Y_{n} & ⧸ \overset{d}{\to} X_{1} + X_{2} = 0 \end{aligned}

$\eqalign{X_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_1\\Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_2\\X_{n}+Y_{n}\ &\not{{\xrightarrow {d}}}\ X_1+X_2=0}$

— Xi'an
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Para que isso se estenda, você precisa de algo mais, como independência.

— Kjetil b halvorsen

Estou certo ao pensar que, se ambas as seqüências convergem para uma constante, o Slutsky ainda se aplica porque uma constante é um caso especial (degenerado) de um RV?

— passe metade

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@ meia passagem: isso está correto.

— Xian

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Suponha que é um vetor centrado gaussiano cuja matriz de covariância é com . Defina e para . Então e , onde e $(X_0,Y_0)$ $\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$ $|\rho|\leqslant 1$ $X_n:=X_0$ $Y_n:=Y_0$ $n\geqslant 1$ $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X$ $Y$ $X_n+Y_n$ $2+2\rho$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

$X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

Obviamente, tudo ficará bem se na distribuição (por exemplo, se for independente de e de Em geral, só podemos afirmar que a sequência é apertado (ou seja, para cada positivo , podemos encontrar tal que $(X_n,Y_n)\to (X,Y)$ $X_n$ $Y_n$ $X$ $Y$ $(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\varepsilon$ $R$ $\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $Z$

$(X_n)_{n\geqslant 1}$ $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\sigma\in [0,2]$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $N(0,\sigma^2)$

$(r_j)$ $[-1,1]$ $\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$ $n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$ $(X_n,Y_n)$ $\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$ $\sigma$

— Davide Giraudo
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