Qual é a distribuição da proporção de um espaçamento e a amostra média?


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Seja uma amostra de variáveis ​​aleatórias exponenciais iid com média e seja as estatísticas de ordem dessa amostra. Seja .X1,,XnβX(1),,X(n)X¯=1ni=1nXi

Definir espaçamentosPode-se mostrar que cada também é exponencial, com média .

Wi=X(i+1)X(i)  1in1.
Wiβi=βni

Pergunta: Como eu iria encontrar , onde é conhecido e não negativo?P(WiX¯>t)t

Tentativa: Eu sei que isso é igual a . Então usei a lei da probabilidade total da seguinte forma: 1FWi(tX¯)

P(Wi>tX¯)=1FWi(tX¯)=10FWi(ts)fX¯(s)ds,

que se transforma em uma bagunça, mas acho integrante tratável.

Estou no caminho certo aqui? Esse é um uso válido da Lei da Probabilidade Total?

Outra abordagem pode ser observar a distribuição de diferenças:

P(WitX¯>0)

Ou mesmo quebre as somas:

P(WitX¯>0)=P((X(i+1)X(i))+tn(X(1)++X(n)))

Uma solução para o caso exponencial seria ótima, mas ainda melhor seria algum tipo de restrição geral à distribuição. Ou, no mínimo, seus momentos, o que seria suficiente para me dar desigualdades em Chebyshev e Markov.


Atualização: aqui está a integral do primeiro método:

10(1exp(tsβi))(1Γ(n)βnsn1exp(βs))ds10(1exp((ni)tsβ))(1Γ(n)βnsn1exp(βs))ds

Eu brinco com isso há um tempo e não sei para onde ir.


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A integral que você obtém parece relativamente simples depois de distribuir os termos entre parênteses. Após uma alteração de variáveis, parece que você terá algumas funções gama.
Alex R.

O @AlexR realmente existe, mas depois de passar pela metade, comecei a suspeitar que não seria limitado entre 0 e 1. Estou procurando mais confirmação de que configurei o problema corretamente. Se eu ficar preso com o próprio integrante Vou perguntar sobre Math.SE
shadowtalker

Respostas:


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A dificuldade que você tem aqui é que você tem um evento relacionando variáveis ​​aleatórias não independentes. O problema pode ser simplificado e resolvido manipulando o evento para comparar os incrementos independentes. Para fazer isso, primeiro observamos que para , cada uma das estatísticas do pedido pode ser escrita como:X1,...,XNIID Exp(β)

X(k)=βi=1kZini+1,

onde (veja, por exemplo, Renyi 1953, David e Nagaraja 2003). Isso nos permite escrever e podemos escrever a média da amostra como:Z1,Z2,...,ZnIID Exp(1)Wk=βZk+1/(nk)

X¯βnk=1nX(k)=βnk=1ni=1kZini+1=βni=1nk=inZini+1=βni=1nZi.

Para facilitar nossa análise, definimos a quantidade:

at(nk)nt(nk).

Para , temos:a>0

P(WktX¯)=P(Zk+1nktni=1nZi)=P(nnkZk+1ti=1kZi)=P((nnkt)Zk+1tikZi)=P((nnkt)ZtG)=P(ZaG),

onde e são variáveis ​​aleatórias independentes. Para o caso trivial em que , temos . Para o caso não trivial em que temos , e a probabilidade de interesse é:ZExp(1)GGa(n1,1)tn/(nk)P(WktX¯)=0t<n/(nk)a>0

P(WktX¯)=0Ga(g|n1,1)agExp(z|1)dzdg=01Γ(n1)gn2exp(g)agexp(z)dzdg=01Γ(n1)gn2exp(g)(1exp(ag))dg=01Γ(n1)gn2exp(g)dg01Γ(n1)gn2exp((a+1)g)dg=1(a+1)(n1)=1(1nknt)n1.

Essa resposta é intuitivamente razoável. Essa probabilidade está estritamente diminuindo em , com probabilidade unitária quando e probabilidade zero quando .tt=0t=nnk

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