As hipóteses nulas e alternativas precisam ser exaustivas ou não?

Vi muitas vezes alegações de que elas precisam ser exaustivas (os exemplos nesses livros sempre foram definidos dessa maneira, de fato); por outro lado, também vi muitas vezes livros afirmando que deveriam ser exclusivos ( por exemplo, como e como ) sem esclarecer a questão exaustiva. Somente antes de digitar essa pergunta, encontrei uma afirmação um pouco mais forte na página da Wikipedia - "A alternativa não precisa ser a negação lógica da hipótese nula". $\mathrm{H}_{0}$ $\mu_1=\mu_2$ $\mathrm{H}_{1}$ $\mu_1>\mu_2$

Alguém mais experiente poderia explicar o que é verdade, e eu ficaria grato por esclarecer as razões (históricas?) Dessa diferença (afinal, os livros foram escritos por estatísticos, isto é, cientistas, não filósofos).

hypothesis-testing

— greenoldman
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Respostas:

Em princípio, não há razão para que as hipóteses sejam exaustivas. Se o teste é de cerca de um parâmetro com sendo a restrição , a alternativa pode ser de qualquer forma enquanto $\theta$ $H_0$ $\theta\in\Theta_0$ $H_a$ $\theta\in\Theta_a$

Θ_{0 0} \cap Θ_{uma} = \emptyset .

$\Theta_0\cap\Theta_a=\emptyset.$

Um exemplo do motivo pelo qual a exaustividade não faz muito sentido é ao comparar duas famílias de modelos, versus . Nesse caso, a exaustividade é impossível, pois a alternativa teria que cobrir todos os modelos de probabilidade possíveis. $H_0:\ x\sim f_0(x|\theta_0)$ $H_a:\ x\sim f_1(x|\theta_1)$

— Xi'an
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Obrigado, por acaso, você sabe por que é tão comum ver esse requisito de ser exaustivo? Além de simples mal-entendidos, porque esse seria um dos mal-entendidos mais comuns :-).

— greenoldman

Eu não entendo o exemplo. Quando você está comparando duas famílias de modelos

entre elas, parece esgotar todos os modelos possíveis na família. Se você permitir que o nulo e a alternativa não cubram todos esses modelos, você complicará o processo de avaliação do risco teórico da decisão do teste (na teoria e na prática).

H_{0}

$H_0$

H_{a}

$H_a$

— whuber

@ Whuber: você interpretou mal o meu exemplo. Como descrito acima, a alternativa

é composta por uma família de modelos bem definida, em que

varia todo o conjunto de valores possíveis, em vez de ser feita com todos os modelos de probabilidade possíveis. Portanto, isso não é exaustivo. Esta é uma crítica levantada contra a abordagem bayesiana de testar, veja, por exemplo, a filósofa da ciência, Deborah Mayo, em Error and Inference

H_{a}

$H_a$

θ_{1}

$\theta_1$

— Xian

Acho que estou lendo seu exemplo corretamente, Xi'an, mas claramente estou lutando com o que você quer dizer com "exaustivo". Seu uso em suas respostas e comentários parece significar "inclui todas as distribuições de probabilidade", mas na maioria das situações de teste de hipóteses isso não é relevante. Na situação atual, "exaustivo" precisa significar "compreendendo todas as distribuições incluídas no modelo" (como todas as distribuições normais para um teste de teoria normal).

— whuber

A principal razão pela qual você vê o requisito de que as hipóteses sejam exaustivas é o problema do que acontece se o valor verdadeiro do parâmetro estiver na região que não é coberta pela hipótese nula ou alternativa. Então, testar no nível de confiança se torna sem sentido ou, talvez pior, seu teste será tendencioso a favor do nulo - por exemplo, um teste unilateral da forma vs. , quando na verdade . $\alpha %$ $\theta = 0$ $\theta > 0$ $\theta < 0$

Um exemplo: um teste unilateral para vs de uma distribuição normal com conhecido e verdadeiro . Com um tamanho de amostra de 100, um teste de 95% rejeitaria se , mas 0,1645 é, na verdade, 2,645 desvios padrão acima da média verdadeira, levando a um nível real de teste de cerca de 99,6%. $\mu = 0$ $\mu > 0$ $\sigma = 1$ $\mu = -0.1$ $\bar{x} > 0.1645$

Além disso, você descarta a possibilidade de se surpreender e aprender algo interessante.

No entanto, também é possível definir o espaço do parâmetro como um subconjunto do que normalmente pode ser considerado o espaço do parâmetro; por exemplo, a média de uma distribuição Normal é frequentemente considerada em algum lugar na linha real, mas se o fizermos, como um teste unilateral, estamos definindo o espaço do parâmetro como a parte da linha coberta pelo nulo e pela alternativa.

— jbowman
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Obrigado, você cometeu um erro de redação, não exclusivo, mas exaustivo (primeira linha).

— greenoldman

H_{0} : θ \leq 0

$H_0: \theta \le 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

H_{0} : θ = 0

$H_0: \theta = 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

θ = 0

$\theta = 0$

Realmente @whuber? A hipótese nula em um teste unilateral é uma desigualdade que inclui a cauda não testada? Isso faz muito mais sentido para mim! Mas, como você diz, foi apresentado no meu curso como uma igualdade de pontos. Obrigado pelo esclarecimento.

— James