Distribuição do VD uniforme contínuo com limite superior sendo outro VD uniforme contínuo

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Se e , então posso dizer que $X \sim U(a, b)$ $Y \sim U(a, X)$ $Y \sim U(a, b)?$

Estou falando de distribuições uniformes contínuas com limites . Uma prova (ou reprovação!) Será apreciada. $[a, b]$

uniform distributions

— Blain Waan
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Não é não. Em R: hist(runif(1e4,0,runif(1e4)))mostra claramente que certamente não é distribuído uniformemente. (Estou postando isso como um comentário, já que você pediu uma prova, o que não deve ser difícil, mas para ser honesto, dado o histograma distorcido, não acho que seja necessária uma prova ...)

Y

$Y$

— Stephan Kolassa

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Uma mudança de localização e escala faz , caso em que para qualquer número , desde que

(e seja

caso contrário). Use

para calcular essa probabilidade condicional.

a = 0, b = 1

$a=0,b=1$

y \in [0, 1]

$y\in[0,1]$

Pr (Y \leq y) = y / X

$\Pr(Y\le y)=y/X$

X \geq y

$X\ge y$

0

$0$

Pr (X \geq y) = 1 - y

$\Pr(X\ge y)=1-y$

— whuber

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Podemos derivar a distribuição de $Y$ analiticamente. Primeiro, observe que é $Y|X$ que segue a distribuição uniforme, ou seja,

f (y | x) = U (a, X)

$f\left(y|x \right) = U(a, X)$

e entao

\begin{aligned} f (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f (y | x) f (x) d x & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} \frac{1}{b - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} [\log (b - a) - \log (y - a)], a < y < b \end{aligned}

$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$

que não é uma distribuição uniforme por conta de . Aqui está a aparência da densidade simulada para uma distribuição , sobreposta com o que acabamos de computar. $\log(y-a)$ $U(0,1)$

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

— JohnK
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Definitivamente não.

Para simplificar, vamos definir . $a = 0, b = 1$

Então

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$< P(X< 0.5) = 0.5$

Devido à desigualdade estrita, não é possível que Unif (0,1). $Y \sim$

— Cliff AB
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