Desigualdade de Chebyshev unilateral por um momento mais alto

Existe um análogo ao momento mais alto das desigualdades de Chebyshev no caso unilateral?

A desigualdade de Chebyshev-Cantelli parece funcionar apenas para a variação, enquanto a desigualdade de Chebyshev pode facilmente ser produzida para todos os expoentes.

Alguém sabe de uma desigualdade unilateral nos momentos mais altos?

approximation moments probability-inequalities

— Andreas Mueller
fonte

Por conveniência, deixe denotar uma variável aleatória de média zero contínua com a função de densidade e considere onde . Temos $X$ $f(x)$ $P\{X \geq a\}$ $a > 0$ onde . Se é ummesmonúmero inteiro e qualquer número real positivo, em seguida,

P {X \geq uma} = \int_{uma}^{\infty} f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f (x) d x = E [g (X)]

$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$

g (x) = 1_{[a, \infty)}

$g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$

n

$n$

b

$b$

e então

h (x) = {(\frac{x + b}{uma + b})}^{n} \geq g (x), - \infty < x < \infty,

$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$

Assim temos que para todos os números reais positivos

E [h (X)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x) f (x) d x \geq \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f (x) d x = E [g (X)] .

$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$

a

$a$

b

$b$

, onde a expectativa mais à direita em

é o

-simo momento (

mesmo) de

sobre

. Quando

, o menor limite superior em

é obtido quando

\begin{matrix} (1) & P {X \geq uma} \leq E [{(\frac{X + b}{uma + b})}^{n}] = (uma + b)^{- n} E [(X + b)^{n}] \end{matrix}

$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$

(1)

$(1)$

n

$n$

n

$n$

X

$X$

- b

$-b$

n = 2

$n = 2$

P {X \geq a}

$P\{X \geq a\}$

b = σ^{2} / a

$b = \sigma^2/a$

P {X \geq a} \leq \frac{σ^{2}}{a^{2} + σ^{2}} .

$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$

n

$n$

b

$b$

— Dilip Sarwate
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