Expectativa do Máximo de Variáveis ​​de IID Gumbel

Continuo lendo em revistas de economia sobre um resultado específico usado em modelos de utilidade aleatórios. Uma versão do resultado é: se Gumbel ( , então:$\epsilon_i \sim_{iid},$$\mu, 1), \forall i$

$$E[\max_i(\delta_i + \epsilon_i)] = \mu + \gamma + \ln\left(\sum_i \exp\left\{\delta_i \right\} \right),$$

onde $\gamma \approx 0.52277$ é a constante de Euler-Mascheroni. Eu verifiquei que isso faz sentido usando R, e faz. O CDF para a distribuição Gumbel $(\mu, 1)$ é:

$$G(\epsilon_i) = \exp(-\exp(-(\epsilon_i - \mu)))$$

Estou tentando encontrar uma prova disso e não tive sucesso. Eu tentei provar isso sozinho, mas não consigo passar por uma etapa específica.

Alguém pode me indicar uma prova disso? Caso contrário, talvez eu possa postar minha prova de tentativa até onde estou preso.

Agradeço o trabalho exibido na sua resposta: obrigado por essa contribuição. O objetivo deste post é fornecer uma demonstração mais simples. O valor da simplicidade é a revelação: podemos obter facilmente toda a distribuição do máximo, não apenas sua expectativa.

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Ignore absorvendo-o no e assumindo que o tenha uma distribuição Gumbel . (Ou seja, substitua cada por e altere para .) Isso não altera a variável aleatória$\mu$$\delta_i$$\epsilon_i$$(0,1)$$\epsilon_i$$\epsilon_i-\mu$$\delta_i$$\delta_i+\mu$

$$X = \max_{i}(\delta_i + \epsilon_i) = \max_i((\delta_i+\mu) + (\epsilon_i-\mu)).$$

A independência do implica para todo real que é o produto das chances individuais . Pegar logs e aplicar propriedades básicas de exponenciais produz$\epsilon_i$$x$$\Pr(X\le x)$$\Pr(\delta_i+\epsilon_i\le x)$

$$\eqalign{ \log \Pr(X\le x) &= \log\prod_{i}\Pr(\delta_i + \epsilon_i \le x) = \sum_i \log\Pr(\epsilon_i \le x - \delta_i)\\ &= -\sum_ie^{\delta_i}\, e^{-x} = -\exp\left(-x + \log\sum_i e^{\delta_i}\right). }$$

Este é o logaritmo do CDF de uma distribuição Gumbel com o parâmetro de localização Isso é,$\lambda=\log\sum_i e^{\delta_i}.$

$X$ tem uma distribuição Gumbel .$\left(\log\sum_i e^{\delta_i}, 1\right)$

Isso é muito mais informações do que o solicitado. A média dessa distribuição é implica$\gamma+\lambda,$

$$\mathbb{E}[X] = \gamma + \log\sum_i e^{\delta_i},$$

QED.

Acontece que um artigo da Econometrica de Kenneth Small e Harvey Rosen mostrou isso em 1981, mas em um contexto muito especializado, de modo que o resultado requer muita escavação, sem mencionar algum treinamento em economia. Decidi provar isso da maneira que achar mais acessível.

Prova : Seja $J$ o número de alternativas. Dependendo dos valores do vetor$\boldsymbol{\epsilon} = \{\epsilon_1, ..., \epsilon_J\}$ , a função assume valores diferentes. Primeiro, foque nos valores de modo que . Ou seja, integraremos no conjunto :$\max_i(\delta_i + \epsilon_i)$$\boldsymbol{\epsilon}$$\max_i (\delta_i + \epsilon_i) = \delta_1 + \epsilon_1$$\delta_1 + \epsilon_1$$M_1 \equiv \{\boldsymbol\epsilon : \delta_1 + \epsilon_1 > \delta_j + \epsilon_j, j \neq 1\}$

$$\begin{equation} \begin{split} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_1} [\max_i(\delta_i + \epsilon_i)] = \hspace{3.25in}\\ \int^{\infty}_{-\infty} (\delta_1 + \epsilon_1)f(\epsilon_1) \left[\int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2} ... \int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J}f(\epsilon_2) ...f(\epsilon_J) d\epsilon_2 ...d\epsilon_J \right] d\epsilon_1 = \\ \int^{\infty}_{-\infty} (\delta_1 + \epsilon_1)f(\epsilon_1) \left(\int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2} f(\epsilon_2)d\epsilon_2 \right) ... \left( \int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J}f(\epsilon_J) d\epsilon_J \right) d\epsilon_1 = \\ \int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_1 + \epsilon_1\right) f(\epsilon_1) F(\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2) ...F(\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J) d\epsilon_1 \end{split} \end{equation}$$

O termo acima é o primeiro de desses termos em . Especificamente,$J$$E[\max_i \left(\delta_i + \epsilon_i \right)]$

$$\begin{equation} E\left[\max_i \left(\delta_i + \epsilon_i \right)\right] = \sum_i E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right]. \end{equation}$$

Agora aplicamos a forma funcional da distribuição Gumbel. Isto dá

$$\begin{equation} \begin{split} &E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \hspace{2in} \\ &\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i\right)e^{\mu - \epsilon_i} e^{- e^{\mu - \epsilon_i}} \prod_{j \neq i} e^{-e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i}}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i\right)e^{\mu - \epsilon_i } \prod_{j } e^{-e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i}}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i \right) e^{\mu - \epsilon_i} \exp \Bigl\{ \sum_{j} -e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i} \Bigr\}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i \right) e^{\mu - \epsilon_i} \exp \Bigl\{ -e^{\mu - \epsilon_i } \sum_{j} e^{ \delta_j - \delta_i} \Bigr\}d\epsilon_i \end{split} \end{equation}$$

onde a segunda etapa vem da coleta de um dos termos exponenciados no produto, junto com o fato de que $\delta_j - \delta_i = 0$ se .$i = j$

Agora definimos e fazemos a substituição , de modo que e . Observe que, conforme aproxima do infinito, aproxima de 0, e como aproxima do infinito negativo, aproxima do infinito. $D_i \equiv \sum_j e^{\delta_j - \delta_i}$$x = D_i\hspace{0.5mm} e^{\mu - \epsilon_i}$$dx = -D_i e^{\mu - \epsilon_i}d\epsilon_i \Rightarrow -\frac{dx} {D_i} = e^{\mu - \epsilon_i}d\epsilon_i$$\epsilon_i = \mu - \log\left(\frac{x}{D_i}\right)$$\epsilon_i$$x$$\epsilon_i$$x$

$$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \\ &\hspace{3mm}\int^{0}_{\infty} \left(\delta_i + \mu - \log\left[\frac{x}{D_i} \right]\right)\left(-\frac{1}{D_i}\right)\exp\left\{ -x\right\}dx \\ =&\hspace{3mm}\frac{1}{D_i}\int^{\infty}_{0} \left(\delta_i + \mu - \log\left[\frac{x}{D_i} \right]\right)e^{ -x}dx \\ =&\hspace{3mm} \frac{\delta_i + \mu}{D_i}\int^{\infty}_{0} e^{-x}dx -\frac{1}{D_i}\int^{\infty}_{0} \log[x]e^{-x}dx + \frac{\log[D_i]} {D_i} \int^{\infty}_{0}e^{-x}dx\\ \end{split} \end{equation}$$

A Função Gamma é definida como . Para valores de que são números inteiros positivos, isso é equivalente a, então . Além disso, sabe-se que a constante de Euler – Mascheroni satisfaz$\Gamma(t) = \int^{\infty}_{0} x^{t - 1}e^{-x}dx$$t$$\Gamma(t) = (t - 1)!$$\Gamma(1) = 0! = 1$$\gamma \approx 0.57722$

$$\gamma = -\int^{\infty}_{0} \log[x] e^{-x}dx.$$

A aplicação desses fatos dá

$$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \frac{\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]}{D_i} \end{split} \end{equation}$$

Então somamos para obter$i$

$$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \sum_i \frac{\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]}{D_i} \end{split} \end{equation}$$

Lembre-se de que . Observe que as probabilidades familiares de escolha do logit são inversas dos 's, ou seja, . Observe também que . Então nós temos$D_i = \sum_j e^{\delta_j - \delta_i} = \frac{\sum_j e^{\delta_j}} {e^{\delta_i}}$$P_i = \frac{e^{\delta_i}}{\sum_j \delta_j}$$D_i$$P_i = 1/D_i$$\sum_i P_i = 1$

$$\begin{equation} \begin{split} \hspace{3mm} E\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] =& \sum_i P_i\left(\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]\right)\\ =&\hspace{2mm} (\mu + \gamma) \sum_i P_i + \sum_i P_i\delta_i + \sum_iP_i \log[D_i] \\ =& \hspace{2mm} \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \sum_i P_i \log\left[\frac{\sum_j e^{\delta_j}} {e^{\delta_i}} \right]\\ =& \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \sum_i P_i \log\left[\sum_j e^{\delta_j}\right] - \sum_i P_i \log[e^{\delta_i}]\\ =& \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \log\left[ \sum_j e^{\delta_j}\right] \sum_i P_i - \sum_i P_i \delta_i \\ =& \mu + \gamma + \log\left[ \sum_j \exp\left\{ \delta_j \right\}\right] .\end{split} \end{equation}$$ QED