Pdf do quadrado de uma variável aleatória normal normal [fechada]

Eu tenho esse problema em que devo encontrar o pdf de . Tudo o que sei é que X tem a distribuição N ( 0 , 1 ) . Que tipo de distribuição é Y = X 2 ? O mesmo que X ? Como encontro o pdf?$Y = X^2$$X$$N(0,1)$$Y = X^2$$X$

Você encontrou um dos resultados mais famosos da teoria das probabilidades e das estatísticas. Escreverei uma resposta, embora tenha certeza de que essa pergunta já foi feita (e respondida) antes neste site.

Primeiro, observe que o pdf de $Y = X^2$ não pode ser o mesmo que o de $X$ pois $Y$ não será negativo. Para derivar a distribuição de $Y$ , podemos usar três métodos, a técnica mgf, a técnica cdf e a técnica de transformação de densidade. Vamos começar.

Técnica de função geradora de momento .

Ou técnica de função característica, o que você quiser. Temos que encontrar o mgf de $Y=X^2$ . Então, precisamos calcular a expectativa

$$E\left[e^{tX^2}\right]$$

Usando a Lei do Inconsciente estatístico , tudo o que temos a fazer é calcular esta integral sobre a distribuição de $X$ . Portanto, precisamos calcular

$$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$$

onde na última linha comparamos a integral com uma integral gaussiana com zero médio e variância $\frac{1}{\left(1-2t\right)}$ . É claro que isso se integra a um sobre a linha real. O que você pode fazer com esse resultado agora? Bem, você pode aplicar uma transformação inversa muito complexa e determinar o pdf que corresponde a este MGF ou pode simplesmente reconhecê-lo como o MGF de uma distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade. (Lembre-se de que uma distribuição qui-quadrado é um caso especial de uma distribuição gama com$\alpha = \frac{r}{2}$ ,$r$sendo os graus de liberdade e$\beta = 2$).

Técnica CDF

Esta é talvez a coisa mais fácil que você pode fazer e é sugerida por Glen_b nos comentários. De acordo com essa técnica, calculamos

$$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$$

e como as funções de distribuição definem as funções de densidade, depois de obtermos uma expressão simplificada, apenas nos diferenciamos em relação a $y$ para obter nosso pdf. Nós temos então

$$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$$

$\Phi(.)$$y$

$$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$$

where $\phi(.)$ is now the pdf of a standard normal variable and we have used the fact that it is symmetric about zero. Hence

$$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$$

which we recognize as the pdf of a chi-squared distribution with one degree of freedom (You might be seeing a pattern by now).

Density transformation technique

At this point you might wonder, why we do not simply use the transformation technique you are familiar with, that is, for a function $Y = g(X)$ we have that the density of $Y$ is given by

$$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

for $y$ in the range of $g$. Unfortunately this theorem requires the transformation to be one-to-one which is clearly not the case here. Indeed, we can see that two values of $X$ result in the same value of $Y$, $g$ being a quadratic transformation. Therefore, this theorem is not applicable.

What is applicable, nevertheless, is an extension of it. Under this extension, we may decompose the support of $X$ (support means the points where the density is non-zero), into disjoint sets such that $Y= g(X)$ defines a one-to-one transformation from these sets into the range of $g$. The density of $Y$ is then given by the sum over all of these inverse functions and the corresponding absolute Jacobians. In the above notation

$$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

where the sum runs over all inverse functions. This example will make it clear.

For $y = x^2$, we have two inverse functions, namely $x = \pm \sqrt{y}$ with corresponding absolute Jacobian $\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$ and so the corresponding pdf is found to be

$$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$$

the pdf of a chi-squared distribution with one degree of freedom. On a side note, I find this technique particularly useful as you no longer have to derive the CDF of the transformation. But of course, these are personal tastes.

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So you can go to bed tonight completely assured that the square of a standard normal random variable follows the chi-squared distribution with one degree of freedom.