Comparação entre estimadores de Bayes

Considere a perda quadrática , com o dado previamente que . Seja a probabilidade. Encontre o estimador de Bayes . $L(\theta,\delta)=(\theta-\delta)^2$ $\pi(\theta)$ $\pi(\theta)\sim U(0,1/2)$ $f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x), \theta>0$ $\delta^\pi$

Considere a perda quadrática ponderada que com anterior . Seja seja a probabilidade. Encontre o estimador de Bayes . $L_w(\theta,\delta)=w(\theta)(\theta-\delta)^2$ $w(\theta)=\mathbb{I}_{(-\infty,1/2)}$ $\pi_1(\theta)=\mathbb{I}_{[0,1]}(\theta)$ $f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x), \theta>0$ $\delta^\pi_1$

Compare e $\delta^\pi$ $\delta^\pi_1$

Primeiro, notei que , e assumi que essa é a probabilidade, caso contrário não recebo nenhum posterior, então portanto o estimador de Bayes em relação à perda quadrática é $f(x|\theta)\sim Beta(\theta,1)$

π (θ | x) \propto f (x | θ) π (θ) = θ x^{θ - 1} I_{[0, 1]} * 2 I_{(0, 1 / 2)} (θ) \sim B e t a (θ, 1)

$\pi(\theta|x)\propto f(x|\theta)\pi(\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}*2\mathbb{I}_{(0,1/2)}(\theta)\sim Beta(\theta,1)$

E [π (θ | x)] = \frac{θ}{θ + 1}

$\mathbb{E}[\pi(\theta|x)]=\frac{\theta}{\theta+1}$

Estou procurando no livro The Bayesian Choice e há um teorema sobre o estimador de Bayes associado à perda quadrática ponderada e é dado por

δ^{π} (x) = \frac{E^{π} [w (θ) θ | x]}{E^{π} [w (θ) | x]}

$\delta^\pi(x)=\frac{\mathbb{E}^\pi[w(\theta)\theta|x]}{\mathbb{E}^\pi[w(\theta)|x]}$

Alguém pode me explicar como eu o calculo?

O que eu tentei é:

δ^{π} (x) = \frac{\frac{\int θ w (θ) f (x | θ) π (θ) d θ}{\int w (θ) f (x | θ) π (θ) d θ}}{\frac{\int f (x | θ) π (θ) d θ}{\int w (θ) f (x θ) π (θ) d θ}}

$\delta^\pi(x)=\frac{\frac{\int \theta w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}}{\frac{\int f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int w(\theta)f(x\theta)\pi(\theta)d\theta}}$

Eu sei que o suporte é , mas quando tentei integrar no numerador $[0,\frac{1}{2}]$

\int θ w (θ) f (x | θ) π (θ) d θ = \int_{0}^{\frac{1}{2}} θ θ x^{θ - 1} d θ = \frac{1}{x} \int_{0}^{\frac{1}{2}} θ^{2} x^{θ} d θ

$\int \theta w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta=\int_0^\frac{1}{2}\theta\theta x^{\theta-1}d\theta=\frac{1}{x}\int_0^\frac{1}{2}\theta^2 x^\theta d\theta$

Não tenho bons resultados.

— Xi'an
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Não é não negativo aqui?

w (θ)

$w(\theta)$

— Juho Kokkala 16/03

Não entendo sua observação sobre "apenas para não negativo", porque (1) uma função de perda nunca se tornará negativa e (2) sua função de perda não pode ser negativa de qualquer maneira.

w (θ)

$w(\theta)$

— whuber

@whuber Puxa, agora eu percebi que a minha idiotice, eu estava olhando para o suporte do indicador

Respostas:

Primeiro, observe que eu corrigi o texto original da pergunta, pois o indicador funciona em suas definições de probabilidade, pois devem ser funções de not . Portanto, a probabilidade é que se integra claramente a um: $x$ $\theta$

f (x) = θ x^{θ - 1} I_{[0, 1]} (x)

$f(x)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x)$

\int_{0}^{1} θ x^{θ - 1} d x = 1

$\int_0^1 \theta x^{\theta-1}\text{d}x = 1$

Segundo, o posterior em não é uma função Beta, pois, como indicado por Greenparker Devido à restrição nos valores de também não é uma distribuição gama, mas um truncamento da distribuição gama. $\theta$

π (θ | x) \propto I_{[0, 1 / 2]} (θ) θ x^{θ - 1} \propto I_{[0, 1 / 2]} (θ) θ \exp {\log (x) θ}

$\pi(\theta|x)\propto\, \mathbb{I}_{[0,1/2]}(\theta)\theta x^{\theta-1}\propto \mathbb{I}_{[0,1/2]}(\theta)\,\theta \exp\{\log(x)\theta\}$

θ

$\theta$

Portanto, o estimador Bayes é a expectativa posterior que podem parecer exigir o uso da função Gamma incompleta, mas que podem ser derivadas de forma fechada pela integração por parte: desde

\begin{aligned} E [θ | x] & = \int_{0}^{1 / 2} θ \times θ \exp {\log (x) θ} d θ / \int_{0}^{1 / 2} θ \exp {\log (x) θ} d θ \\ = \int_{0}^{1 / 2} θ^{2} \exp {\log (x) θ} d θ / \int_{0}^{1 / 2} θ \exp {\log (x) θ} d θ \end{aligned}

$\begin{align*}\mathbb{E}[\theta|x] &= \int_0^{1/2} \theta\times\theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta \Big/ \int_0^{1/2} \theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta\\&= \int_0^{1/2} \theta^2 \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta \Big/ \int_0^{1/2} \theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta\\\end{align*}$

\int_{0}^{1 / 2} θ^{k} \exp {- α θ} d θ = \frac{- 1}{α} {[θ^{k} \exp {- α θ}]}_{0}^{1 / 2} + \frac{k}{α} \int_{0}^{1 / 2} θ^{k - 1} \exp {- α θ} d θ

$\int_0^{1/2} \theta^k \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta = \frac{-1}{\alpha}\left[\theta^k \exp\{-\alpha\theta\}\right]_0^{1/2} + \frac{k}{\alpha}\int_0^{1/2} \theta^{k-1} \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta$

\int_{0}^{1 / 2} \exp {- α θ} d θ = \frac{1 - \exp {- α / 2}}{α}

$\int_0^{1/2} \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta = \frac{1-\exp\{-\alpha/2\}}{\alpha}$

Por fim, como indicado no meu livro , de fato, minimizar in equivale a minimizar em que é equivalente a minimizar em que equivale a substituir o original original por um novo que precisa ser renormalizado em uma densidade, ou seja, $\delta$

\int w (θ) (θ - δ)^{2} π (θ | x) d θ

$\int w(\theta)(\theta-\delta)^2 \pi(\theta|x) \text{d}\theta$

δ

$\delta$

\int w (θ) (θ - δ)^{2} π (θ) f (x | θ) d θ

$\int w(\theta)(\theta-\delta)^2 \pi(\theta)f(x|\theta) \text{d}\theta$

δ

$\delta$

\int (θ - δ)^{2} w (θ) π (θ) f (x | θ) d θ

$\int (\theta-\delta)^2 w(\theta)\pi(\theta)f(x|\theta) \text{d}\theta$

π

$\pi$

w (θ) π (θ)

$w(\theta)\pi(\theta)$

π_{1} (θ) = w (θ) π (θ) / \int w (θ) π (θ) d θ

$\pi_1(\theta)=w(\theta)\pi(\theta) \Big/\int w(\theta)\pi(\theta)\text{d}\theta$

— Xi'an
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Sua resposta para a parte da perda de erro ao quadrado está errada.

π (θ | x) \propto f (x | θ) π (θ) = 2 θ x^{θ - 1} I_{(0, 1 / 2)} (θ) .

$\pi(\theta|x) \propto f(x|\theta) \pi(\theta) = 2\theta x^{\theta-1}I_{(0,1/2)}(\theta).$

Esta é uma distribuição em , não em , e a variável aleatória no posterior é . Portanto, sua resposta está incorreta e a resposta correta seria a média posterior dessa distribuição. $Beta(\theta,1)$ $x$ $\theta$ $\theta$

Para a segunda parte,

(O anterior da função de perda ponderada é mas você a refere como . Estou mudando a notação de volta para .) $\pi_1$ $\pi$ $\pi_1$

Let , onde é uma constante de normalização. Você precisa calcular $\pi'(\theta) = cw(\theta) \pi_1(\theta)$ $c$

\begin{aligned} δ^{π_{1}} (x) & = \frac{E^{π_{1}} [w (θ) θ | x]}{E^{π_{1}} [w (θ | x)]} \\ = \frac{\int w (θ) θ f (x | θ) π_{1} (θ) d θ}{\int w (θ) f (x | θ) π_{1} (θ) d θ} \\ = \frac{\int θ f (x | θ) π^{'} (θ) d θ}{\int f (x | θ) π^{'} (θ) d θ} \\ = E^{π^{'}} [θ | x] \end{aligned}

$\begin{align*} \delta^{\pi_1}(x) & = \dfrac{E^{\pi_1}[w(\theta) \theta |x ]}{E^{\pi_1}[w(\theta|x)]}\\ & = \dfrac{\int w(\theta) \theta f(x|\theta) \pi_1(\theta)\, d\theta}{\int w(\theta) f(x|\theta)\pi_1(\theta)\, d\theta}\\ & = \dfrac{\int \theta f(x|\theta) \pi'(\theta) \,d\theta}{\int f(x|\theta) \pi'(\theta) \, d\theta}\\ & = E^{\pi'}[\theta|x] \end{align*}$

Assim, para a função de perda ponderada de mínimos quadrados, o teorema diz que a estimativa de Bayes é a média posterior em relação a um anterior diferente. O anterior é

π^{'} (θ) \propto w (θ) π_{1} (θ) .

$\pi'(\theta) \propto w(\theta) \pi_1(\theta).$

A constante de normalização é . $\int_{\theta} w(\theta) \pi(\theta) d\theta = E_{\pi_1}[w(\theta)]$

\begin{aligned} E_{π_{1}} [w (θ)] & = \int_{0}^{1 / 2} I_{0, 1} (θ) d (θ) = \frac{1}{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} E_{\pi_1}[w(\theta)] & = \int_{0}^{1/2} I_{0,1}(\theta) d(\theta) = \frac{1}{2}. \end{align*}$

Portanto, o anterior é . É o mesmo que você teve na primeira pergunta. $\pi'(\theta) = 2I_{(0,1/2)}(\theta)$

Assim, a resposta para os cenários (seja o que for) será a mesma. Você pode encontrar a integral aqui . Embora possa ser suficiente corrigir a forma da resposta e não completar a integral.

— Greenparker
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