Estimando a média e o desvio padrão de uma curva gaussiana truncada sem pico


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Suponha que eu tenha uma caixa preta que gera dados após uma distribuição normal com média me desvio padrão s. Suponha, no entanto, que sempre que ele gera um valor <0, ele não registra nada (nem pode dizer que ele emitiu esse valor). Temos uma distribuição gaussiana truncada sem um pico.

Como posso estimar esses parâmetros?


Alterei a tag de "truncado-gaussiano" para "truncamento" porque a maioria das respostas será potencialmente útil em situações que envolvam outras distribuições.
whuber

Respostas:


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O modelo para seus dados seria:

yiN(μ,σ2)I(yi>0)

Assim, a função de densidade é:

f(yi|)=exp((yiμ)22σ2)2πσ (1ϕ(μσ))

Onde,

ϕ(.) é o cdf normal padrão.

Você pode estimar os parâmetros e usando os métodos de máxima verossimilhança ou bayesiano.σμσ


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Como Srikant Vadali sugeriu, Cohen e Hald resolveram esse problema usando ML (com um localizador de raízes Newton-Raphson) por volta de 1950. Outro artigo é "Estimation in the Truncated Normal Distribution" de Max Halperin, disponível no JSTOR (para aqueles com acesso). Pesquisar no Google "estimativa gaussiana truncada" produz muitos acertos úteis.


Os detalhes são fornecidos em um encadeamento que generaliza essa pergunta (para distribuições truncadas em geral). Consulte Estimadores de probabilidade máxima para uma distribuição truncada . Também podem ser de interesse para comparar os estimadores de máxima probabilidade, para a solução Máxima Entropia dado (com código) em Max entropia Solver em R .


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Com uma borda técnica de TB para uma abordagem simplificada de H. Schneider é muito útil para calcular a média e o desvio padrão da distribuição normal truncada:μ t σ ta=0μtσt

  1. calcule a média e o desvio padrão (população inteira!) para o conjunto de dados:σμσ

    μ=x¯=1ni=1nxi

    σ=s=1ni=1n(xix¯)2

  2. verifique se a borda técnica tem uma distância válida para a média :TB=a=0x¯

    consideração de não é necessária quandoTB=ax¯3s

  3. calcular e :ω,P3(ω),P4(ω)Q(ω)

    ω=s2(ax¯)2

    P3(ω)=1+5,74050101ω13,53427037ω2+6,88665552ω3

    P4(ω)=0,00374615+0,17462558ω2,87168509ω2+17,48932655ω311,91716546ω4

    Q(ω)=P4(ω)P3(ω)

  4. verifique se , caso contrário, a média é que não é útil tecnicamenteω0,57081μt<0

  5. calcule e para a distribuição normal truncada:μtσt

    μt=x¯+Q(ω)(ax¯)

    σt2=s2+Q(ω)(ax¯)2

Isso é tudo...

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