Posso tomar uma decisão usando um fator Bayes?

Os fatores de Bayes indicam o quão bem um determinado modelo é suportado. Diga que estou executando um experimento controlado e tenho dois modelos: o modelo nulo e o modelo alternativo.

Se eu tiver um alto fator Bayes, posso argumentar que o tratamento é eficaz e propor a mudança?

hypothesis-testing bayes bayes-factors

— ameba
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Você poderia entrar em mais detalhes? Qual é exatamente o seu cenário de tomada de decisão? Quais são os dois modelos que você tem? O que não está claro sobre o uso dos fatores Bayes para você?

— Tim

Se deve ou não fabricar um novo medicamento é o cenário de decisão. Queremos determinar se este medicamento foi realmente eficaz.

Nota: Os fatores de Bayes podem ser assustadoramente sensíveis aos detalhes de anteriores não informativos (e indefinidos para aqueles que são impróprios). No entanto, o cenário de teste de drogas esboçado também convida a um problema de inferência mais simples definido em um único modelo que possui um parâmetro que representa o efeito do tratamento medicamentoso. Dessa forma, você receberá um intervalo credível para o tamanho do efeito como um bônus.

— conjugateprior

Não entendo por que alguém votou para encerrar isso como incerto. Eu acho que é perfeitamente claro e a resposta é basicamente sim, mas é claro que com algumas advertências, como por exemplo, apontado por @conjugateprior (+1). No entanto, a primeira frase da sua pergunta ("Os fatores de Bayes denotam quão bem um determinado modelo é suportado") está errada: Os fatores de Bayes servem para comparar dois modelos.

— Ameba 27/03

Não, não existem 'estimadores bayesianos' ou mesmo, estritamente falando, 'estimativa bayesiana' (embora existam estimadores que possam ter uma motivação bayesiana). Por outro lado, existe inferência bayesiana. Mas o que você obtém disso não é um estimador, ou mesmo uma estimativa, mas uma distribuição conjunta para todas as quantidades desconhecidas mencionadas em um modelo (também conhecido como posterior) condicionado aos dados.

— conjugateprior

Essa é uma pergunta excelente e profunda.

Embora os livros tradicionais (como os meus ) tendam a promover fatores de Bayes como equivalentes às probabilidades posteriores das hipóteses nulas e alternativas ou de dois modelos em comparação, formalmente correto, conforme detalhado no trecho a seguir da minha escolha bayesiana , agora tenho a pensar que o fator Bayes em si não deve ser usado para a tomada de decisões, mas como uma medida de evidência relativa de um modelo em relação ao outro. Por exemplo, usando $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)=1$ como a linha divisória entre nulo e alternativo (ou entre o modelo ae modelo b) não me parece uma escolha natural. Além disso, não acho que a perda de 0-1 defendida por Neyman e Pearson e mais tarde adotada por quase todo mundo faça muito sentido e dê apoio à interpretação decisória do fator Bayes.

$\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$ $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$ $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$

[ The Bayesian Choice , 2007, Seção 5.2.2, página 227]

Do ponto de vista teórico da decisão, o fator Bayes é apenas uma transformação individual da probabilidade posterior, mas essa noção acabou sendo considerada em seu próprio terreno nos testes bayesianos.

$B_{01}^{π} (x) = \frac{P (θ \in Θ_{0} ∣ x)}{P (θ \in Θ_{1} ∣ x)} / \frac{π (θ \in Θ_{0})}{π (θ \in Θ_{1})} .$ $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x) = {\mathbb{P}(\theta \in \Theta_ 0\mid x) \over \mathbb{P}(\theta \in \Theta_1\mid x)} \bigg/ {\pi(\theta \in \Theta_ 0) \over \pi(\theta \in \Theta_ 1)}.$
$\Theta_0$ $\Theta_1$ $1$

$H_0$
$B_{01}^{π} (x) \geq \frac{a_{1}}{a_{0}} / \frac{ρ_{0}}{ρ_{1}} = \frac{a_{1} ρ_{1}}{a_{0} ρ_{0}},$ $B^\pi_{01} (x) \ge {a_1\over a_0} \big/ {\rho_0 \over \rho_1} = {a_1\rho_1 \over a_0\rho_0},$ $\begin{aligned} ρ_{0} & = π (θ \in Θ_{0}) and \\ ρ_{1} & = π (θ \in Θ_{1}) \\ = 1 - ρ_{0} . \end{aligned}$ $\begin{align*} \rho_0 &= \pi(\theta\in\Theta_0) \quad \hbox{ and } \nonumber\\ \rho_1 &= \pi(\theta\in\Theta_1)\\ &=1-\rho_0. \end{align*}$

$a_0$ $a_1$ $\mathfrak{M}_0$ $\mathfrak{M}_1$

L (θ, φ) = {\begin{cases} 0 & if φ = I_{Θ_{0}} (θ), \\ a_{0} & if θ \in Θ_{0} and φ = 0, \\ a_{1} & if θ \notin Θ_{0} and φ = 1, \end{cases}

$\mathfrak{L}(\theta, \varphi) = \begin{cases} 0 &\text{if $\varphi=\mathbb{I}_{\Theta_0}(\theta)$,} \cr a_0 &\text{if $\theta\in\Theta_0$ and $\varphi=0$,} \cr a_1 &\text{if $\theta\not\in\Theta_0$ and $\varphi=1$,}\cr\end{cases}$

— Xi'an
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a_{0}

$a_0$

a_{1}

$a_1$

Resposta incrível Xi'an. Obrigado pela resposta, eu realmente aprecio isso.

+1. Eu formatei a citação do seu livro como uma citação - desculpas se você não quiser tê-lo assim por algum motivo (sinta-se à vontade para reverter minha edição). Também removi as palavras "Panayiota Touloupou" que de alguma forma entraram na definição durante a última revisão.

— Ameba 29/03