Todo modelo ARIMA (1,1,0) é equivalente a um modelo AR (2)?

Suponha que eu tenha uma série temporal $x_t$ que eu quero ajustar usando um modelo ARIMA (1,1,0) do formulário:

$\Delta x_t = \alpha \Delta x_{t-1} + w_t$

Isso pode ser reescrito como:

$x_t - x_{t-1} = \alpha ( x_{t-1} - x_{t-2} )+ w_t$

$x_t = ( 1 + \alpha)x_{t-1} - \alpha x_{t-2} + w_t$

A última equação descreve um modelo AR (2) com coeficientes $1+\alpha$ e $-\alpha$. Eu reconheço que, dependendo da$\alpha$, esse modelo AR (2) pode não ser estacionário. No entanto, se eu estava usando um diff, a série que estou modelando não deveria ser estacionária.

Eu sei que, se o modelo não for estacionário, um diff deve ser usado. Mas como os resultados difeririam se eu usasse um modelo AR (2) versus um modelo ARIMA (1,1,0)? Suponho (como sugerido por R) que ele tem um problema de convergência. No entanto, quando peço que R realize os ajustes, ele fará os dois e os coeficientes são (na maioria) consistentes com minhas observações acima. As previsões são definitivamente diferentes, no entanto.

Se alguém pudesse esclarecer isso ou me indicar uma boa referência, eu agradeceria.

Aqui está o código R que eu usei para gerar os dois modelos.

> set.seed(2)
> x <- arima.sim(n = 1000, model=list(order=c(1,1,0), ar=c(0.3)))
> plot(x)
> arima(x, order=c(1,1,0))

Call:
arima(x = x, order = c(1, 1, 0))

Coefficients:
         ar1
      0.3291
s.e.  0.0298

sigma^2 estimated as 1.03:  log likelihood = -1433.91,  aic = 2871.81
> arima(x, order=c(2,0,0))

Call:
arima(x = x, order = c(2, 0, 0))

Coefficients:
         ar1      ar2  intercept
      1.3290  -0.3294    50.9803
s.e.  0.0298   0.0299    35.9741

sigma^2 estimated as 1.03:  log likelihood = -1438.93,  aic = 2885.86
Warning messages:
1: In log(s2) : NaNs produced
2: In log(s2) : NaNs produced
3: In log(s2) : NaNs produced
4: In arima(x, order = c(2, 0, 0)) :
  possible convergence problem: optim gave code = 1

A previsão para o ARIMA (1,1,0) impõe a restrição que $d=1$.

Talvez seja ainda mais fácil ver no caso AR (1) vs. ARIMA (0,1,0): O último é apenas

$$\Delta y_t=\epsilon_t$$ cujas previsões ideais são 0 em todos os horizontes (esperamos $\epsilon_t$para pegar o valor zero). Se pretendemos prever$y_t$ , pegamos o último valor da amostra e apenas acumulamos as mudanças de previsão $y_t$. Basicamente, esperamos que o valor de amanhã seja o valor de hoje mais a mudança esperada de hoje para amanhã.

Portanto, como não esperamos mudanças aqui, a previsão ideal para uma caminhada aleatória é $y_T$ ($T$ sendo o último na observação da amostra) para todos $h=T+1,\ldots$.

Se, por outro lado, ajustamos um modelo AR (1), obtemos uma estimativa $\hat\alpha$ e produzir as previsões ideais a partir de um modelo AR (1) como

$$y_{T+h}=\hat\alpha^hy_T$$ Se erros de estimativa (como geralmente ocorrem em amostras finitas) são tais que $\hat\alpha$ difere do valor real de 1, as previsões serão diferentes.

A equivalência depende das definições. O processo geral ARMA (p, q) pode ser definido como um processo estocástico, que é a solução para a seguinte equação:

$$X_t-\phi_1X_{t-1}-...-\phi_pX_{t-p}=Z_t+\theta_1 Z_{t-1}+...+\theta_qZ_{t-q},$$

Onde $Z_t$é um processo de ruído branco. Devemos exigir que os polinômios$\phi(z)=1-\phi_1 z-...-\phi_pz^p$ e $\theta(z)= 1+\theta_1z+...\theta_pz^p$ não deve ter raízes comuns, para que a equação seja definida exclusivamente.

Agora surge a pergunta, quando esta equação tem uma solução. A resposta depende das propriedades dos polinômios$\phi(z)$ e $\theta(z)$. A equação tem uma solução estacionária, quando os polinômios não têm raízes no círculo unitário.

Portanto, nesse sentido, o ARIMA (1,1,0) não é um processo AR (2), porque não é estacionário. Pode ser escrito como satisfazendo a equação AR (2), mas como os polinômios têm uma raiz em um círculo unitário, você não pode resolver a equação. No entanto, se o polinômio$\phi(z)$ tem uma raiz unitária, então $\Delta X_t$satisfaz a equação ARMA (p-1, q) (com polinômios diferentes). Portanto, é possível resolver para$\Delta X_t$ e volte para $X_t$. Para marcar essa diferença, a notação ARIMA (p, d, q) é usada.

Então, para resumir, se definirmos estritamente um processo ARMA (p, q) como uma solução estacionária para a equação ARMA (p, q), ARIMA (1,1,0) e AR (2) não serão equivalentes.

O fato de R conseguir encontrar os coeficientes corretos é uma propriedade interessante da estimativa, ou seja, é possível mostrar que, no caso de raízes unitárias, o OLS [1] fornecerá estimativas consistentes dos coeficientes, porém a inferência seria incorreta. , como as distribuições limitantes não são normais. Os testes do ADF são baseados nessas estimativas. No entanto, a matemática real para mostrar que as estimativas estão corretas é bastante complicada e depende de certas suposições. Essas suposições não generalizam bem, portanto, não é aconselhável usar métodos usuais de estimativa para processos de raiz unitária.

[1] O MLE e o OLS são equivalentes às especificações do tipo AR (p).