Estatísticas de Independência e Ordem

Eu tenho um problema em mãos, que não estou conseguindo prosseguir. Alguém pode me ajudar a começar?

$Y_1<Y_2<Y_3$ : Uma ordem de tamanho 3 estatística de distribuição tendo pdf

$$f(x)=2x\ \ \ 0<x<1$$ Além disso, definir $$U_1={Y_1\over Y_2} \ \ \text{and }\ \ \ U_2={Y_2\over Y_3}$$ A tarefa é calcular o pdf conjunto de$U_1\ \&\ U_2$.

Meu trabalho: eu descobri a marginal de $U_1\ \&\ U_2$ .

$$P(U_1\le u_1)=\int_0^1\int_0^{u_1y_2}f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)dy_1dy_2$$ $$P(U_2\le u_2)=\int_0^1\int_0^{u_2y_3}f_{Y_2,Y_3}(y_2,y_3)dy_2dy_3$$ Que passo devo fazer a seguir?

Aqui está um guia para resolver esse problema (e outros semelhantes). Eu uso valores simulados para ilustrar, então vamos começar simulando um grande número de realizações independentes da distribuição com densidade . (Todo o código nesta resposta está escrito .)$f$R

n <- 4e4 # Number of trials in the simulation
x <- matrix(pmax(runif(n*3), runif(n*3)), nrow=3)

# Plot the data
par(mfrow=c(1,3))
for (i in 1:3) {
  hist(x[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  curve(f(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Os histogramas mostram realizações independentes dos primeiros elementos, segundo, e terceiro conjuntos de dados. O gráfico de curvas vermelhas f . O fato de coincidirem com os histogramas confirma que a simulação está funcionando como planejado.$40,000$$f$

$(Y_1, Y_2, Y_3)$

y <- apply(x, 2, sort)

# Plot the order statistics.
f <- function(x) 2*x
ff <- function(x) x^2
for (i in 1:3) {
  hist(y[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  k <- factorial(3) / (factorial(3-i)*factorial(1)*factorial(i-1))
  curve(k * (1-ff(x))^(3-i) * f(x) * ff(x)^(i-1), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

$40,000$$Y_1$$Y_3$$Y_2$

$(U_1, U_2)$

$$F(u_1, u_2) = \Pr(U_1 \le u_1, U_2 \le u_2) = \Pr(Y_1 \le u_1 Y_2, Y_2 \le u_2 Y_3).$$

Como você calculou a densidade da junta , é uma questão de rotina fazer a integral (tripla) expressa pela probabilidade à direita. A região de integração deve ser$(Y_1, Y_2, Y_3)$

$$0 \le Y_1 \le u_1 Y_2,\ 0 \le Y_2 \le u_2 Y_3,\ 0 \le Y_3 \le 1.$$

A simulação pode nos dar uma idéia de como são distribuídos: aqui está um gráfico de dispersão dos valores realizados de . Sua resposta teórica deve descrever essa densidade.$(U_1, U_2)$$(U_1, U_2)$

par(mfrow=c(1,1))
u <- cbind(y[1, ]/y[2, ], y[2, ]/y[3, ])
plot(u, pch=16, cex=1/2, col="#00000008", asp=1)

Como verificação, podemos examinar as distribuições marginais e compará-las com as soluções teóricas. As densidades marginais, mostradas como curvas vermelhas, são obtidas como e .$\partial F(u_1, 1)/\partial u_1$$\partial F(1, u_2)/\partial u_2$

par(mfrow=c(1,2))
hist(u[, 1], freq=FALSE); curve(2*x, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
hist(u[, 2], freq=FALSE); curve(4*x^3, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
par(mfrow=c(1,1))

É curioso que tenha a mesma distribuição que o original .$U_1$$X_i$

Aqui está uma solução simbólica exata que rastreia as etapas necessárias ... aqui, usando ferramentas automatizadas para fazer pequenos detalhes

Vamos denotar uma amostra do tamanho 3 do pdf pai :$(X_1, X_2, X_3)$$f(x)$

Então, o pdf conjunto da amostra ordenada é :$(X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)})$$g(x_1,x_2,x_3)$

onde estou usando a OrderStatfunção do pacote mathStatica para o Mathematica .

A cdf conjunta de é :$(U_1, U_2)$$P\big(\frac{X_{(1)}}{X_{(2)}}<u_1, \,\frac{X_{(2)}}{X_{(3)}}<u_2\big)$

O pdf conjunto de é derivado pela simples diferenciação do cdf wrt e :u 1 u $(U_1, U_2)$$u_1$$u_2$

Finalmente, como uma verificação rápida de Monte Carlo, aqui está uma comparação de:

• a solução teórica exata derivada (a articulação pdf - a superfície laranja)

• plotado contra uma junção empírica simulada de Monte Carlo pdf (histograma 3D):