Ligado na função de geração de momento

Essa pergunta surge da pergunta aqui sobre um limite para as funções geradoras de momento (MGFs).

Suponha que é uma variável aleatória de média zero delimitada, assumindo valores em e que seja seu MGF. De um limite usado em uma prova da desigualdade de Hoeffding , temos que que o lado direito é reconhecível como MGF de uma variável aleatória normal média com zero e desvio padrão . Agora, o desvio padrão de pode ser maior que , com o valor máximo ocorrendo quando é uma variável aleatória discreta, de modo que $X$ $[-\sigma, \sigma]$ $G(t) = E[e^{tX}]$

G (t) = E [e^{t X}] \leq e^{σ^{2} t^{2} / 2}

$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$

σ

$\sigma$

X

$X$

σ

$\sigma$

X

$X$

P {X = σ} = P {X = - σ} = \frac{1}{2}

$P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$ . Portanto, o limite referido pode ser considerado como dizendo que o MGF de uma variável aleatória limitada com média de zero está limitado acima pelo MGF de uma variável aleatória normal média com zero, cujo desvio padrão é igual ao desvio padrão máximo possível que pode ter.

X

$X$

X

$X$

Minha pergunta é: esse é um resultado bem conhecido de interesse independente usado em outros lugares que não sejam a prova da desigualdade de Hoeffding e, nesse caso, também é conhecido por estender a variáveis aleatórias com médias diferentes de zero?

O resultado que solicita esta questão permite gama assimétrica $[a,b]$ em $X$ com $a < 0 < b$ , mas que insistem em . O limite é que é o desvio padrão máximo possível para uma variável aleatória com valores restritos a , mas esse máximo não é atingido por variáveis aleatórias com média zero, a menos que . $E[X] = 0$

G (t) \leq e^{t^{2} (b - a)^{2} / 8} = e^{t^{2} σ_{m a x}^{2} / 2}

$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$

σ_{max} = (b - a) / 2

$\sigma_{\max} = (b-a)/2$

[a, b]

$[a,b]$

b = - a

$b = -a$

probability probability-inequalities mgf

— Dilip Sarwate
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Variáveis aleatórias que satisfazem os limites do mgf como a que você cita são chamadas variáveis aleatórias subgaussianas . Eles desempenham um papel central, por exemplo, na teoria da matriz aleatória não assintótica e em alguns resultados associados na detecção compactada. Veja, por exemplo, o link na resposta aqui . (Isto, obviamente, não falar com a sua questão em particular, mas, é de natureza relacionada.)

— cardeal

Não consigo responder a primeira parte da sua pergunta, mas quanto a estendê-la a variáveis aleatórias com meios diferentes de zero ...

Primeiro, observe que qualquer rv com faixa finita e (necessariamente finita) média pode ser transformado em uma rv que é, obviamente, média zero com faixa (satisfazendo assim as condições em sua declaração de problema). A variável transformada possui mgf (pelas propriedades básicas do mgf) Multiplicando os dois lados por e aplicando o desigualdade dá: $Z$ $[a+\mu,b+\mu]$ $\mu$ $X = Z-\mu$ $[a,b]$ $\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$ $\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

Não é de surpreender que o mgf de uma variável aleatória Normal com a mesma média e desvio padrão seja igual a . $\sigma_\text{max}$

— jbowman
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