Transformada de Fourier de distribuições

Quais distribuições são suas próprias transformadas de Fourier além da distribuição normal e da distribuição generalizada do arco-seno ?

distributions fourier-transform

— Neil G
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Suponha que a transformada de Fourier de seja onde onde . A transformação inversa é $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \exp (- i 2 π f t) d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) \exp (i 2 π f t) d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$

Algumas propriedades da transformação de Fourier são as seguintes:

A transformada de Fourier de é $X(t)$ $x(-f)$
Se é uma função par com valor real de , então é uma função par com valor real de . $x(t)$ $t$ $X(f)$ $f$

Assim, se é uma função par com valor real de , então a transformada de Fourier da função par com valor real é $x(t)$ $t$ $X(t)$ $x(f)$

Agora, suponha que seja uma função de densidade de probabilidade uniforme (de modo que para todos os ) com a propriedade adicional de que . Suponha também que sua transformação de Fourier possua a propriedade que para todos os . Então, como é uma função com valor real, mesmo não negativa, de com a área , que é, também é uma função de densidade de probabilidade com a propriedade de que $x(t)$ $x(t) \geq 0$ $t$ $x(0) = 1$ $X(f)$ $X(f) \geq 0$ $f$

x (0) = 1 = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f

$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$

X (f)

$X(f)$

f

$f$

1

$1$

X (f)

$X(f)$

X (0) = 1

$X(0) = 1$ . Um exemplo desse par de funções é a distribuição normal citada por OP Neil G e outro exemplo é

x_{1} (t) = \exp (- π t^{2}), X_{1} (f) = \exp (- π f^{2})

$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$

x_{2} (t) = (1 - | t |) 1_{[- 1, 1]}, X_{2} (f) = {sinc}^{2} (f) = {\begin{cases} {(\frac{\sin (π f)}{π f})}^{2}, & f \neq 0, \\ 1, & f = 0. \end{cases}

$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$

Agora observe que é uma densidade de mistura cuja transformação de Fourier é que é a mesma densidade da mistura. $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$ $\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

Assim, se é uma função de densidade cuja transformada de Fourier é uma função de densidade, então a função de densidade da mistura é a sua própria transformação de Fourier. $x(t)$ $X(f)$ $\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

Finalmente, dadas duas densidades que são suas próprias transformadas de Fourier, por exemplo, e , qualquer densidade da mistura que é uma função de densidade que é sua própria transformação de Fourier. $x_1(t)$ $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

α x_{1} (t) + (1 - α) [\frac{1}{2} x_{2} (t) + \frac{1}{2} X_{2} (t)]

$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$

α \in [0, 1]

$\alpha \in [0,1]$

— Dilip Sarwate
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(+1) Isso é bastante inteligente. Deve-se notar que, para garantir um par de transformações válido, precisamos de uma condição de integrabilidade em . Nomeadamente, garantirá que a inversão declarada recupere a densidade apropriada. Em certo sentido, você emprega essa condição posteriormente. (Eu já assumiu a restrição de não negatividade em foi imposta, por isso não precisa de módulo.)

X (f)

$X(f)$

\int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f < \infty

$\int_{-\infty}^\infty X(f) \,\mathrm{d}f < \infty$

X (f)

$X(f)$

— cardeal