Jeffreys anterior para vários parâmetros

Em certos casos, o Jeffreys anterior para um modelo multidimensional completo é geralmente considerado inadequado, por exemplo: (onde , com e desconhecido), onde o anterior a seguir é preferido (para o Jeffreys anterior completo ): que é o Jeffreys obtido anteriormente ao manter fixo (e da mesma forma para ). Esse prioritário coincide com o referencial anterior ao tratar

y_{Eu} = μ + ε_{Eu},

$y_i=\mu + \varepsilon_i \, ,$

ε \sim N (0, σ^{2})

$\varepsilon \sim N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

π (μ, σ) \propto σ^{- 2}

$\pi(\mu,\sigma)\propto \sigma^{-2}$

p (μ, σ) = π (μ) \cdot π (σ) \propto σ^{- 1},

$p(\mu,\sigma) = \pi(\mu) \cdot \pi(\sigma) \propto \sigma^{-1}\, ,$

π (μ)

$\pi(\mu)$

σ

$\sigma$

p (σ)

$p(\sigma)$

σ

$\sigma$ e em grupos separados.

μ

$\mu$

Pergunta 1: Por que tratá-los como em grupos separados faz mais sentido do que tratá-los no mesmo grupo (o que resultará, se eu estiver correto (?), No Jeffreys dimensional total anterior, veja [1])?

Em seguida, considere a seguinte situação: onde é desconhecido, , é desconhecido e é uma função não linear conhecida. Nesse caso, é tentador e, pela minha experiência, às vezes proveitoso considerar a seguinte decomposição: onde e são os Jeffreys anteriores para os dois submodelos, como no exemplo anterior da localização da escala.

y_{Eu} = g (x_{Eu}, θ) + ε_{Eu},

$y_i=g(x_i,\mathbf{\theta}) +\varepsilon_i\, ,$

θ \in R^{n}

$\theta \in \mathbb{R}^n$

ε_{i} \sim N (0, σ^{2})

$\varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2)$

σ

$\sigma$

g

$g$

p (σ, θ) = π (σ) π (θ),

$p(\sigma,\theta)=\pi(\sigma) \pi(\theta) \, ,$

π (σ)

$\pi(\sigma)$

π (θ)

$\pi(\theta)$

Pergunta 2: Em tal situação, podemos dizer algo sobre a otimização (de uma perspectiva da teoria da informação) do anterior derivado $p(\sigma,\theta)$ ?

[1] De https://theses.lib.vt.edu/theses/available/etd-042299-095037/unrestricted/etd.pdf :

Finalmente, notamos que o prior de Jeffreys é um caso especial de um prior de referência. Especificamente, o prior de Jeffreys corresponde à referência anterior, na qual todos os parâmetros do modelo são tratados em um único grupo.

— peuhp
fonte

Eu acho que você quer dizer modelo multivariável, a regressão multivariada é estritamente reservada para várias variáveis no lado esquerdo.

— Mdwey

O que é ótimo? Não há resultado geral e genérico de "otimização" para o Jeffreys anterior. Tudo depende do objetivo da análise estatística e da função de perda adotada para avaliar e comparar procedimentos. Caso contrário, $\pi(\theta,\sigma)\propto \dfrac{1}{\sigma}$ não pode ser comparado com . Como escrevi em minha resposta mais popular no X validada , não existe o melhor prioritário não informativo. $\pi(\theta,\sigma)\propto \dfrac{1}{\sigma}^2$

— Xi'an
fonte

Obrigado pela sua entrada. No entanto, na minha opinião, Jeffreys anterior oferece algum tipo de otimização no sentido de que, pelo menos no cenário 1d, eles minimizam uma quantidade teórica de informações que pode fazer sentido e ser discutida (por favor, deixe-me saber se estou errado ) O que quero dizer é: podemos escrever um "critério" semelhante, o procedimento anterior de Jeffreys satisfaz as duas configurações dadas na minha pergunta? A partir da citação dada na minha pergunta, parece que sim e eu gostaria de discutir a implicação de escolher esse critério em vez de outro (de uma perspectiva puramente de TI :)).

— peuhp