O produto de duas variáveis aleatórias lognormal

Seja e duas variáveis aleatórias normais. Escreva e , para corrigir idéias. $X_1$ $X_2$ $X_1\sim N(\mu_1, \sigma^2_1)$ $X_2\sim N(\mu_2, \sigma^2_2)$

Considere as variáveis aleatórias log-normais correspondentes: , . $Z_1 = \exp(X_1)$ $Z_2 = \exp(X_2)$

Pergunta: qual é a distribuição do produto das duas variáveis aleatórias, ou seja, a distribuição de ? $Z_1Z_2$

Se as variáveis aleatórias normais são independentes ou têm uma distribuição normal bivariada, a resposta é simples: temos com a soma normal, portanto, o produto ainda é lognormal . $X_1, X_2$ $Z_1Z_2 = \exp(X_1+X_2)$ $X_1+X_2$ $Z_1Z_2$

Mas suponha que geralmente independentes, digamos com correlação . O que podemos dizer sobre a distribuição de ? $X_1, X_2$ $not$ $\rho$ $Z_1Z_2$

distributions normal-distribution lognormal

— Cara aleatório
fonte

Isso pode ser útil: stats.stackexchange.com/questions/19948/…

— Greenparker

Duvido, no entanto .. basicamente, essa pergunta pergunta "se os marginais são normalmente distribuídos, podemos dizer algo sobre sua distribuição conjunta?" E eu acho que não podemos dizer muito em geral.

— Ant

Z_{1} Z_{2} = \exp (X_{1} + X_{2})

$Z_1 Z_2 = \exp(X_1 + X_2)$ em geral, portanto, sua verdadeira pergunta é se é normal (que será se forem bivariados normais com a correlação )

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$

X_{1}, X_{2}

$X_1, X_2$

ρ

$\rho$

— Henry

Se você não tem normalidade bivariada, apenas especificar a correlação e as margens não é suficiente para determinar a distribuição bivariada.

— Glen_b -Reinstala Monica

Usando Dilips, responda aqui , se e são bi-variáveis normais e e e a correlação entre e é . Então $X$ $Y$ $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ $X$ $Y$ $\rho$

C o v (X, Y) = ρ σ_{1} σ_{2},

$Cov(X,Y) = \rho \sigma_1 \sigma_2,$

X + Y \sim N (μ_{1} + μ_{2}, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} + 2 ρ σ_{1} σ_{2}) .

$X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\rho\sigma_1 \sigma_2).$

Assim, também será uma distribuição lognormal com os parâmetros e . $Z_1Z_2$ $\mu_1 + \mu_2$ $\sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\rho\sigma_1 \sigma_2$

— Greenparker
fonte

Adiciona alguma qualificação? Isso é verdade se a distribuição de (X, Y) é bi-variável normal, mas que a distribuição marginal de X é normal e a distribuição marginal de Y é normal não implica que a distribuição conjunta seja bi-variável normal ... stats .stackexchange.com / questions / 30159 /…

— Matthew Gunn

@MatthewGunn Interesting. Eu estava alegremente inconsciente disso. Como está, minha resposta não aborda a questão completamente. Vou esperar algumas horas antes de excluí-lo. Obrigado.

— Greenparker 15/05

Você tem muitos dados dessa distribuição? Nesse caso, você pode plotá-lo ou testar se a normal bivariada é uma boa aproximação de distribuição. Caso contrário, talvez você possa estimar uma cópula e partir daí!

— Kjetil b halvorsen

Isso é óbvio, mas você está perdendo o ponto: o que acontece se você não souber se os dois marginais têm uma distribuição bivariada?

— RandomGuy

Obrigado! Essa resposta incrível salvou meu dia!

— Jinhua Wang

O produto de duas variáveis ​​aleatórias lognormal

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