A soma de um grande número de variáveis aleatórias independentes de Cauchy é Normal?

Pelo Teorema do Limite Central, a função densidade de probabilidade da soma de grandes variáveis aleatórias independentes tende a Normal. Portanto, podemos dizer que a soma de um grande número de variáveis aleatórias independentes de Cauchy também é Normal?

random-variable central-limit-theorem cauchy

— urwaCFC
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Quais são as hipohteses da versão do Teorema do Limite Central que você aprendeu?

— Brian Borchers

Não.

Você está perdendo uma das suposições centrais do teorema do limite central:

... variáveis aleatórias com variações finitas ...

A distribuição de Cauchy não possui uma variação finita.

A distribuição de Cauchy é um exemplo de distribuição que não possui média, variância ou momentos superiores definidos.

De fato

Se forem variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, cada uma com uma distribuição Cauchy padrão, a média da amostra a mesma distribuição Cauchy padrão. $X_1, \ldots, X_n$ $\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$

Portanto, a situação em sua pergunta é bem clara: você continua recebendo a mesma distribuição Cauchy.

Esse é o conceito de uma distribuição estável, certo?

Sim. Uma distribuição (estritamente) estável (ou variável aleatória) é aquela para a qual qualquer combinação linear de duas cópias iid é distribuída proporcionalmente à distribuição original. A distribuição de Cauchy é realmente estritamente estacionária. $a X_1 + b X_2$

(*) Citações da wikipedia.

— Matthew Drury
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Uau. Eu deveria escovar meu conceito de CLT. Muito obrigado pela resposta.

— urwaCFC

O cauchy é realmente um bom exemplo neste espaço. Existe massa suficiente nas caudas que a média não a puxa para a média, mas não o suficiente para que os valores extremos causem a acumulação de massa nas caudas. Está no limite onde o CLT falha.

— Matthew Drury

"É exatamente na fronteira onde o CLT falha." Não exatamente - uma distribuição com 2 graus de liberdade teria finito, mas infinito, enquanto o Cauchy não o tem. Para os Cauchy, a lei dos grandes números nem se aplica!

t

$t$

E (| X |)

$E(|X|)$

E (X^{2})

$E(X^2)$

— Andrew M

Ohhh, interessante! Suponho que realmente passei por algumas nuances lá.

— Matthew Drury

Se bem me lembro, na verdade há um teorema de limite correspondente para o t2 e o Cauchy. Se bem me lembro de uma escolha apropriada de padronização como uma função de de t2's converge para a normalidade - muito lentamente - enquanto para o Cauchy temos esse meio de amostra é o mesmo Cauchy com o qual começamos.

n

$n$

\bar{X} - μ

$\bar{X}-\mu$

— Glen_b -Reinstate Monica

A soma de um grande número de variáveis ​​aleatórias independentes de Cauchy é Normal?

A soma de um grande número de variáveis aleatórias independentes de Cauchy é Normal?