Estimador imparcial do parâmetro de poisson


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O número de acidentes por dia é uma variável aleatória de Poisson com o parâmetro ; em 10 dias escolhidos aleatoriamente, o número de acidentes foi observado como 1,0,1,1,2,0,2,0,0,1, o que será ser um estimador imparcial de ?λeλ

Tentei tentar desta maneira: Sabemos que , mas . Então, qual será o estimador imparcial necessário?E(x¯)=λ=0.8E(ex¯) eλ

Respostas:


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Se , então, para . É difícil calcularXPois(λ)P(X=k)=λkeλ/k!k0

E [ X n _ ]

E[Xn]=k0knP(X=k),
mas é muito mais fácil calcular , onde : Você pode provar isso por si mesmo - é um exercício fácil. Além disso, permitirei que você prove por si mesmo o seguinte: Se são iid como , então , portanto, Seja . Segue queE[Xn_]E [ X n _ ] = λ n . X 1 , , X N PoisXn_=X(X1)(Xn+1)
E[Xn_]=λn.
X1,,XNL = Σ i X i ~ Pois ( N λ ) E [ L n _ ] = ( N λ ) N = N N λ nPois(λ)U=iXiPois(Nλ)Z n = U n _ / N n
E[Un_]=(Nλ)n=NnλnandE[Un_/Nn]=λn.
Zn=Un_/Nn
  • X 1X NZn são funções das suas medidas , ,X1XN
  • E[Zn]=λn ,

Desde, podemos deduzir queeλ=n0λn/n!

W=n0Zn/n! E[W]=eλWUN0Un_=0n>UZn=0n>U

E[n0Znn!]=n0λnn!=eλ,
portanto, seu estimador imparcial é, ie, . No entanto, para computar , é necessário avaliar a uma soma que parece ser infinita, mas nota que , portanto, para . Segue que para , portanto, a soma é finita.W=n0Zn/n!E[W]=eλWUN0Un_=0n>UZn=0n>U

Podemos ver que, usando esse método, é possível encontrar o estimador imparcial para qualquer função de que possa ser expressa como .f ( λ ) = n 0 a n λ nλf(λ)=n0anλn


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Segue-se que . Queremos estimar . Como você diz, um estimador possível seria Usando a função geradora de momento , descobrimos que para que seja enviesado. Algumas suposições sugerem que Y=i=110XiPois(10λ)θ=eλ

θ^=eX¯=eY/10.
Y
MY(t)=e10λ(et1),
E(θ^)=E(e110Y)=MY(110)=e10λ(e1/101)=θ10(e1/101),
θ^
θ=eaY,
pode ser imparcial para a escolha adequada do fator de correção . Novamente, usando o mgf de , descobrimos que portanto, isso é imparcial se que leva a e como um estimador imparcial de .aY
E(θ)=e10λ(ea1)=θ10(ea1),
10(ea1)=1a=ln1110θ=(1110)Yθ=eλ

Pelo teorema de Lehmann-Scheffé , como é uma estatística suficiente para , o estimador (uma função de ) é UMVUE para .YλθYe λeλ

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