Como criar uma matriz de covariância arbitrária

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Por exemplo, em R, a MASS::mvrnorm()função é útil para gerar dados para demonstrar várias coisas nas estatísticas. É necessário um Sigmaargumento obrigatório, que é uma matriz simétrica que especifica a matriz de covariância das variáveis. Como eu criaria uma matriz simétrica $n\times n$ com entradas arbitrárias?

r random-generation covariance-matrix

— rsl
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Eu acho que essa pergunta se beneficiaria de ser editada para focar em "como criar uma matriz de covariância arbitrária" e menos no aspecto da codificação. Certamente há uma questão estatística subjacente aqui, como demonstrado pela resposta.

— Silverfish 31/05

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Relacionado: Como gerar eficientemente matrizes de correlação aleatória positiva-semidefinida?

— Ameba diz Reinstate Monica

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Criar um matriz com valores arbitrários $n\times n$ $A$

e então use como sua matriz de covariância. $\Sigma = A^T A$

Por exemplo

n <- 4  
A <- matrix(runif(n^2)*2-1, ncol=n) 
Sigma <- t(A) %*% A

— Henry
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Da mesma forma Sigma <- A + t(A),.

— rsl 31/05

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@MoazzemHossen: Sua sugestão irá produzir uma matriz simétrica, mas pode não ser sempre semidefinite positivo (por exemplo, a sua sugestão poderia produzir uma matriz com valores próprios negativos) e por isso não pode ser apropriado como uma matriz de covariância

— Henry

Sim, notei que R retorna erro no caso de minha maneira sugerida produzir matriz inadequada.

— rsl

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Observe que, se você preferir uma matriz de correlação para melhor interpretabilidade, existe a função ? Cov2cor , que pode ser aplicada posteriormente.

— gung - Restabelece Monica

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@ B11b: Você precisa que sua matriz de covariância seja semi-definida positiva. Que iria colocar alguns limites sobre os valores de covariância, queridos não totalmente óbvias quando

n > 2

$n \gt 2$

— Henry

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Eu gosto de ter controle sobre os objetos que eu crio, mesmo quando eles podem ser arbitrários.

Considere-se, então, que todos os possíveis matrizes de covariância $n\times n$ pode ser expressa na forma $\Sigma$

Σ = P^{'} Diagonal (σ_{1}, σ_{2}, \dots, σ_{n}) P

$\Sigma= P^\prime\ \text{Diagonal}(\sigma_1,\sigma_2,\ldots, \sigma_n)\ P$

onde é uma matriz ortogonal e $P$ . $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \cdots \ge \sigma_n \ge 0$

Geometricamente, isso descreve uma estrutura de covariância com uma variedade de componentes principais de tamanhos . Estes componentes apontam em direcções das linhas de . Veja as figuras em Compreendendo a análise de componentes principais, vetores próprios e valores próprios para exemplos com . Configurando o $\sigma_i$ $P$ $n=3$ $\sigma_i$ definirá as magnitudes das covariâncias e seus tamanhos relativos, determinando assim qualquer forma elipsoidal desejada. As linhas de orientam os eixos da forma como você preferir. $P$

Um benefício algébrico e computacional dessa abordagem é que, quando , $\sigma_n \gt 0$ $\Sigma$ é prontamente invertido (que é uma operação comum em matrizes de covariância):

Σ^{- 1} = P^{'} Diagonal (1 / σ_{1}, 1 / σ_{2}, \dots, 1 / σ_{n}) P .

$\Sigma^{-1} = P^\prime\ \text{Diagonal}(1/\sigma_1, 1/\sigma_2, \ldots, 1/\sigma_n)\ P.$

Não se preocupe com as direções, mas apenas com os intervalos de tamanhos dos ? Tudo bem: você pode gerar facilmente uma matriz ortogonal aleatória. Apenas envolva iid valores normais padrão em uma matriz quadrada e ortogonalize-a. Certamente funcionará (desde que $\sigma_i$ $n^2$ $n$ não seja enorme). A decomposição QR fará isso, como neste código

n <- 5
p <- qr.Q(qr(matrix(rnorm(n^2), n)))

Isso funciona porque o $n$ distribuição multinormal variável assim gerada é "elíptica": é invariável sob todas as rotações e reflexões (através da origem). Assim, todas as matrizes ortogonais são geradas uniformemente, conforme discutido em Como gerar pontos uniformemente distribuídos na superfície da esfera unitária 3-d? .

Uma maneira rápida de obter de eo , uma vez que você tenha especificado ou criou, usos e exploits 's re-uso de matrizes em operações aritméticas, como neste exemplo, com : $\Sigma$ $P$ $\sigma_i$ crossprodR $\sigma=(\sigma_1, \ldots, \sigma_5) = (5,4,3,2,1)$

Sigma <- crossprod(p, p*(5:1))

Como verificação, a decomposição do Valor Singular deve retornar e . Você pode inspecioná-lo com o comando $\sigma$ $P^\prime$

svd(Sigma)

O inverso Sigma, é claro, é obtido apenas mudando a multiplicação por $\sigma$ em uma divisão:

Tau <- crossprod(p, p/(5:1))

Você pode verificar isso através da visualização zapsmall(Sigma %*% Tau), que deve ser o matriz identidade. Um inverso generalizado (essencial para os cálculos de regressão) é obtida pela substituição de qualquer por , exactamente como acima, mas mantendo os zeros entre o como eram. $n\times n$ $\sigma_i \ne 0$ $1/\sigma_i$ $\sigma_i$

— whuber
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P

$P$

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Vale a pena mencionar que os valores singulares svd(Sigma)serão reordenados - isso me confundiu por um minuto.

— precisa saber é

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Você pode simular matrizes definidas positivas aleatórias a partir da distribuição Wishart usando a função "rWishart" do pacote amplamente utilizado "stats".

n <- 4
rWishart(1,n,diag(n))

— Carlos Llosa
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Existe um pacote especificamente para isso, clusterGeneration (escrito entre outros por Harry Joe, um grande nome nesse campo).

Existem duas funções principais:

genPositiveDefMat gerar uma matriz de covariância, 4 métodos diferentes
rcorrmatrix : gerar uma matriz de correlação

Exemplo rápido:

library(clusterGeneration)
#> Loading required package: MASS
genPositiveDefMat("unifcorrmat",dim=3)
#> $egvalues
#> [1] 15.408962  5.673916  1.228842
#> 
#> $Sigma
#>          [,1]     [,2]     [,3]
#> [1,] 6.714871 1.643449 6.530493
#> [2,] 1.643449 6.568033 2.312455
#> [3,] 6.530493 2.312455 9.028815
genPositiveDefMat("eigen",dim=3)
#> $egvalues
#> [1] 8.409136 4.076442 2.256715
#> 
#> $Sigma
#>            [,1]       [,2]      [,3]
#> [1,]  2.3217300 -0.1467812 0.5220522
#> [2,] -0.1467812  4.1126757 0.5049819
#> [3,]  0.5220522  0.5049819 8.3078880

^{Criado em 2019-10-27 pelo pacote reprex (v0.3.0)}

Por fim, observe que uma abordagem alternativa é fazer uma primeira tentativa do zero e depois usar Matrix::nearPD()para tornar sua matriz positiva.

— Matifou
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