Como ajusto uma regressão restrita em R para que os coeficientes totalizem = 1?

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Eu vejo uma regressão restrita semelhante aqui:

Regressão linear restrita através de um ponto especificado

mas minha exigência é um pouco diferente. Preciso que os coeficientes totalizem até 1. Especificamente, estou regredindo os retornos de 1 série de câmbio contra 3 outras séries de câmbio, para que os investidores possam substituir sua exposição a essa série por uma combinação de exposição a outras 3, mas suas as despesas de caixa não devem mudar e, de preferência (mas isso não é obrigatório), os coeficientes devem ser positivos.

Eu tentei procurar por regressão restrita no R e no Google, mas com pouca sorte.

r regression

— Thomas Browne
fonte

Tem certeza de que este é um problema de regressão restrito? Enquanto leio a pergunta, você procura um relacionamento da forma

(uma série de Forex) =

(mais, presumo, um quarto termo que representa uma taxa segura predominante de Retorna). Isso é independente da decisão de investimento. Se um cliente deseja investir

capital em

usando

,

e

como proxies, eles investem apenas

y_{4}

$y_4$

β_{1} y_{1} + β_{2} y_{2} + β_{3} y_{3}

$\beta_1 y_1 + \beta_2 y_2 + \beta_3 y_3$

c

$c$

y_{4}

$y_4$

y_{1}

$y_1$

y_{2}

$y_2$

y_{3}

$y_3$

em

,

em

e

em

. Isso não adiciona complicação especial à regressão, acrescenta?

c β_{1}

$c\beta_1$

y_{1}

$y_1$

c β_{2}

$c\beta_2$

y_{2}

$y_2$

c β_{3}

$c\beta_3$

y_{3}

$y_3$

— whuber

Isso ocorre porque, se você modelar isso, verá que B1 + B2 + B3> 1 em muitos casos (ou <1 em outros). Isso ocorre porque a moeda que um está tentando replicar com os descritores normalmente apresenta uma volatilidade maior ou menor que os outros e, portanto, a regressão fornece pesos menores ou maiores em resposta. Isso exige que o investidor não seja totalmente investido ou aproveite, o que eu não quero. Quanto à taxa de retorno segura no. Tudo o que estamos tentando fazer é replicar a série1 usando outras variáveis. Sendo um sujeito financeiro e não estatístico, talvez eu tenha errado o nome da minha pergunta.

— Thomas Browne

A razão para incluir um termo para uma taxa de retorno segura é que, às vezes, ele tem um coeficiente diferente de zero. Presumivelmente, os instrumentos seguros (depósitos bancários overnight) estão disponíveis para todos a baixo custo, portanto, qualquer pessoa que ignore isso como um componente de sua cesta de investimentos pode estar escolhendo combinações abaixo do ideal. Agora, se os coeficientes não aumentam a unidade, e daí? Basta investir o quanto quiser nas proporções estimadas pela regressão.

— whuber

certo ..... simples assim. Obrigado. Eu me sinto um pouco boba agora haha.

— Thomas Browne

1

Não é bobo. Apenas fazer essa pergunta reflete um alto nível de pensamento. Eu estava apenas checando meu próprio entendimento de sua pergunta para garantir que você recebesse uma resposta eficaz. Felicidades.

— whuber

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Se bem entendi, seu modelo é com e . Você precisa minimizar

Y = π_{1} X_{1} + π_{2} X_{2} + π_{3} X_{3} + ε,

$Y = \pi_1 X_1 + \pi_2 X_2 + \pi_3 X_3 + \varepsilon,$

\sum_{k} π_{k} = 1

$\sum_k \pi_k = 1$

π_{k} \geq 0

$\pi_k\ge0$

sujeitos a essas restrições. Esse tipo de problema é conhecido comoprogramação quadrática.

\sum_{i} {(Y_{i} - (π_{1} X_{i 1} + π_{2} X_{i 2} + π_{3} X_{i 3}))}^{2}

$\sum_i \left(Y_i - (\pi_1 X_{i1} + \pi_2 X_{i2} + \pi_3 X_{i3}) \right)^2$

Aqui, algumas linhas de códigos R que fornecem uma solução possível ( são as colunas de , os valores reais de são 0,2, 0,3 e 0,5). $X_1, X_2, X_3$ X $\pi_k$

> library("quadprog");
> X <- matrix(runif(300), ncol=3)
> Y <- X %*% c(0.2,0.3,0.5) + rnorm(100, sd=0.2)
> Rinv <- solve(chol(t(X) %*% X));
> C <- cbind(rep(1,3), diag(3))
> b <- c(1,rep(0,3))
> d <- t(Y) %*% X  
> solve.QP(Dmat = Rinv, factorized = TRUE, dvec = d, Amat = C, bvec = b, meq = 1)
$solution
[1] 0.2049587 0.3098867 0.4851546

$value
[1] -16.0402

$unconstrained.solution
[1] 0.2295507 0.3217405 0.5002459

$iterations
[1] 2 0

$Lagrangian
[1] 1.454517 0.000000 0.000000 0.000000

$iact
[1] 1

Não conheço nenhum resultado sobre a distribuição assintótica dos estimadores, etc. Se alguém tiver indicadores, ficarei curioso para obter alguns (se desejar, posso abrir uma nova pergunta sobre isso).

— Elvis
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Pergunta realmente rápida. Eu não deveria estar minimizando a variação em vez da soma? Não é isso que uma regressão faz é minimizar a variação do quadrado dos erros?

— Thomas Browne

6

Y = α_{1} X_{1} + α_{2} X_{2} + (1 - α_{1} - α_{2}) X_{3} + ε

$Y = \alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2 + (1-\alpha_1-\alpha_2)X_3 +\varepsilon$

Y - X_{3} = α_{1} (X_{1} - X_{3}) + α_{2} (X_{2} - X_{3}) + ε

$Y-X_3 = \alpha_1(X_1-X_3) + \alpha_2(X_2-X_3)+\varepsilon$

π_{i}

$\pi_i$

α_{1}

$\alpha_1$

α_{2}

$\alpha_2$

6

π_{k}

$\pi_k$

0

$0$

π_{k} > 0

$\pi_k > 0$

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Um coeficiente positivo diz para você comprar uma moeda estrangeira; um coeficiente negativo diz para você vendê-lo. Se você já não possui essa moeda, precisa emprestá-la para vendê-la ("vendendo a descoberto"). Como o empréstimo irrestrito pode causar problemas às pessoas, existem restrições quanto ao valor do empréstimo e como ele é pago (procedimentos de "requisitos de margem" e "custos de transporte de capital" e "marcação a mercado"). Portanto, o empréstimo é possível, mas muitas vezes é evitado, exceto pelos principais players do mercado ou a menos que confira grandes vantagens.

— whuber

2

Muito obrigado a todos por toda a ajuda. Na verdade, apenas para fazer um comentário sobre os mercados de câmbio em geral, eles são mais fáceis de vender do que ações ou títulos, porque não é necessário emprestar uma ação antes da venda a descoberto. Simplesmente vira-se o denominador e as moedas do numerador. Assim, por exemplo, vender EURUSD e vender USDEUR são operações exatamente equivalentes em termos de departamento de risco, mas é claro que são posições exatamente opostas. É por isso que o FX é um ótimo playground para os negociadores de quant, porque eles não precisam se preocupar muito com atritos direcionais que são muito mais importantes em ações

— Thomas Browne

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Conforme mencionado pelo whuber, se você estiver interessado apenas nas restrições de igualdade, também poderá usar a função lm () padrão, reescrevendo seu modelo:

\begin{array}{rcl} Y & = & α + β_{1} X_{1} + β_{2} X_{2} + β_{3} X_{3} + ϵ \\ = & α + β_{1} X_{1} + β_{2} X_{2} + (1 - β_{1} - β_{2}) X_{3} + ϵ \\ = & α + β_{1} (X_{1} - X_{3}) + β_{2} (X_{2} - X_{3}) + X_{3} + ϵ \end{array}

$\begin{eqnarray} Y&=&\alpha+\beta_1 X_1+\beta_2 X_2+\beta_3 X_3+\epsilon\\ &=& \alpha+\beta_1 X_1+\beta_2 X_2+(1-\beta_1-\beta_2) X_3+\epsilon\\ &=& \alpha + \beta_1( X_1-X_3) +\beta_2 (X_2-X_3)+ X_3+\epsilon \end{eqnarray}$

Mas isso não garante que suas restrições de desigualdade sejam satisfeitas! Nesse caso, porém, você obtém exatamente o mesmo resultado de usar o exemplo de programação quadrática acima (colocando o X3 à esquerda):

X <- matrix(runif(300), ncol=3)
Y <- X %*% c(0.2,0.3,0.5) + rnorm(100, sd=0.2)
X1 <- X[,1]; X2 <-X[,2]; X3 <- X[,3]
lm(Y-X3~-1+I(X1-X3)+I(X2-X3))

— Matifou
fonte

β_{1} = 0.75

$\beta_1=0.75$

β_{2} = 0.5

$\beta_2=0.5$

(1 - β_{1} - β_{2}) = - 0.25

$(1-\beta_1-\beta_2)=-0.25$

1

Thanks @A.S. for pointing this out. Indeed, this solution works only for the equality constraints, not the inequality ones. I edited the text accordingly.

— Matifou

1

As I understand your model, you're seeking to find

\bar{\bar{x}} \cdot \bar{b} = \bar{y}

$\bar{\bar{x}} \cdot \bar{b} = \bar{y}$ such that

\sum [\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix}] = 1

$\sum \left [ \begin{matrix} \bar{b} \end{matrix} \right ] =1$

I've found the easiest way to treat these sorts of problems is to use matrices' associative properties to treat $\bar{b}$ as a function of other variables.

E.g. $\bar{b}$ is a function of $\bar{c}$ via the transform block $\bar{\bar{T_c}}$ . In your case, $r$ below is $1$ .

\bar{b} = [\begin{matrix} k_{0} \\ k_{1} \\ k_{2} \end{matrix}] = \bar{\bar{T_{c}}} \cdot \bar{c} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} k_{0} \\ k_{1} \\ r \end{matrix}]

$\bar{b} = \left [ \begin{matrix} k_0 \\ k_1 \\ k_2 \end{matrix} \right ] = \bar{\bar{T_c}} \cdot \bar{c} = \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right ] \cdot \left[ \begin{matrix} k_0 \\ k_1 \\ r \end{matrix} \right ]$ Here we can separate our

k

$k$ nowns and

u

$u$ nknowns.

\bar{c} = [\begin{matrix} k_{0} \\ k_{1} \\ r \end{matrix}] = \bar{\bar{S_{u}}} \cdot \bar{c_{u}} + \bar{\bar{S_{k}}} \cdot \bar{c_{k}} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} k_{0} \\ k_{1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] \cdot r

$\bar{c} = \left[ \begin{matrix} k_0 \\ k_1 \\ r \end{matrix} \right ] = \bar{\bar{S_u}} \cdot \bar{c_u} + \bar{\bar{S_k}} \cdot \bar{c_k} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \cdot \left [ \begin{matrix} k_0 \\ k_1 \end{matrix} \right ] + \left [ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ] \cdot r$ While I could combine the different transform/separation blocks, that gets cumbersome with more intricate models. These blocks allow knowns and unknowns to be separated.

\bar{\bar{x}} \cdot \bar{\bar{T_{c}}} \cdot (\bar{\bar{S_{u}}} \cdot \bar{c_{u}} + \bar{\bar{S_{k}}} \cdot \bar{c_{k}}) = \bar{y} \bar{\bar{v}} = \bar{\bar{x}} \cdot \bar{\bar{T_{c}}} \cdot \bar{\bar{S_{u}}} \bar{w} = \bar{y} - \bar{\bar{x}} \cdot \bar{\bar{T_{c}}} \cdot \bar{\bar{S_{k}}} \cdot \bar{c_{k}}

$\bar{\bar{x}} \cdot \bar{\bar{T_c}} \cdot \left ( \bar{\bar{S_u}} \cdot \bar{c_u} + \bar{\bar{S_k}} \cdot \bar{c_k} \right ) = \bar{y} \\ \bar{\bar{v}} = \bar{\bar{x}} \cdot \bar{\bar{T_c}} \cdot \bar{\bar{S_u}} \\ \bar{w} = \bar{y} - \bar{\bar{x}} \cdot \bar{\bar{T_c}} \cdot \bar{\bar{S_k}} \cdot \bar{c_k}$ Finally the problem is in a familiar form.

\bar{\bar{v}} \cdot \bar{c_{u}} = \bar{w}

$\bar{\bar{v}} \cdot \bar{c_u} = \bar{w}$

— Augi Lynch
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1

Old question but since I'm facing the same problem I thought to post my 2p...

Use quadratic programming as suggested by @Elvis but using sqlincon from the pracma package. I think the advantage over quadrpog::solve.QP is a simpler user interface to specify the constraints. (In fact, lsqlincon is a wrapper around solve.QP).

Example:

library(pracma)

set.seed(1234)

# Test data
X <- matrix(runif(300), ncol=3)
Y <- X %*% c(0.2, 0.3, 0.5) + rnorm(100, sd=0.2)

# Equality constraint: We want the sum of the coefficients to be 1.
# I.e. Aeq x == beq  
Aeq <- matrix(rep(1, ncol(X)), nrow= 1)
beq <- c(1)

# Lower and upper bounds of the parameters, i.e [0, 1]
lb <- rep(0, ncol(X))
ub <- rep(1, ncol(X))

# And solve:
lsqlincon(X, Y, Aeq= Aeq, beq= beq, lb= lb, ub= ub)

[1] 0.1583139 0.3304708 0.5112153

Same results as Elvis's:

library(quadprog)
Rinv <- solve(chol(t(X) %*% X));
C <- cbind(rep(1,3), diag(3))
b <- c(1,rep(0,3))
d <- t(Y) %*% X  
solve.QP(Dmat = Rinv, factorized = TRUE, dvec = d, Amat = C, bvec = b, meq = 1)$solution

EDIT To try to address gung's comment here's some explanation. sqlincon emulates matlab's lsqlin which has a nice help page. Here's the relevant bits with some (minor) edits of mine:

X Multiplier matrix, specified as a matrix of doubles. C represents the multiplier of the solution x in the expression C*x - Y. C is M-by-N, where M is the number of equations, and N is the number of elements of x.

Y Constant vector, specified as a vector of doubles. Y represents the additive constant term in the expression C*x - Y. Y is M-by-1, where M is the number of equations.

Aeq: Linear equality constraint matrix, specified as a matrix of doubles. Aeq represents the linear coefficients in the constraints Aeq*x = beq. Aeq has size Meq-by-N, where Meq is the number of constraints and N is the number of elements of x

beq Linear equality constraint vector, specified as a vector of doubles. beq represents the constant vector in the constraints Aeq*x = beq. beq has length Meq, where Aeq is Meq-by-N.

lb Lower bounds, specified as a vector of doubles. lb represents the lower bounds elementwise in lb ≤ x ≤ ub.

ub Upper bounds, specified as a vector of doubles. ub represents the upper bounds elementwise in lb ≤ x ≤ ub.

— dariober
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