Como avaliar se uma moeda lançada 900 vezes e aparece cara 490 vezes é tendenciosa?

Uma moeda é lançada 900 vezes e as cabeças aparecem 490 vezes. O resultado apóia a hipótese de que a moeda é imparcial?

Aqui a hipótese nula natural $H_0$ é que a moeda é imparcial, ou seja, que a probabilidade $p$ de uma cabeça é igual a $1/2$. A hipótese alternativa mais razoável$H_1$ é aquele $p\ne 1/2$, embora se possa defender a hipótese alternativa unilateral $p>1/2$.

Precisamos escolher o nível de significância do teste. Isso é contigo. Dois números tradicionais são$5$% e $1$%

Suponha que a hipótese nula seja válida. Então o número de cabeças possui distribuição binomial com média$(900)(1/2)=450$e desvio padrão $\sqrt{(900)(1/2)(1/2)}=15$.

A probabilidade de que, ao jogar uma moeda justa, o número de caras difira de $450$ de $40$ ou mais (em qualquer direção) é, por simetria,

Assim, se a moeda não era imparcial, várias cabeças que diferem de$450$ de $40$ou mais seria bem improvável. Teria probabilidade menor que$1$% então no$1$% de nível de significância, rejeitamos a hipótese nula.

Também podemos usar a aproximação normal ao binomial para estimar a probabilidade de que o número de cabeças seja$\ge 490$ ou $\le 410$ sob a hipótese nula $p=1/2$. Nosso normal tem média$450$ e variação $15$ é $\ge 490$ com probabilidade a probabilidade de que um normal padrão seja $\ge 40/15$. Nas tabelas para o normal, trata-se de$0.0039$. Duplo para levar em consideração a cauda esquerda. Nos entendemos$0.0078$, razoavelmente próximo do valor fornecido pela Wolfram Alpha e sob $1$\%. Então, se usarmos$1$\% como nosso nível de significância, novamente rejeitamos a hipótese nula $H_0$.

Comentários: $1$. Na aproximação normal ao binômio, obtemos uma melhor aproximação à probabilidade de o binômio ser$\ge 490$ calculando a probabilidade de que o normal seja $\ge 489.5$. Se você quiser procurar, esta é a correção de continuidade . Se usarmos a aproximação normal com correção de continuidade, descobrimos que a probabilidade de$490$ ou mais ou $410$ ou menos cabeças é sobre $0.008468$, bem perto da resposta "exata" fornecida pela Wolfram Alpha. Assim, podemos encontrar uma estimativa muito precisa, como nos velhos tempos, usando tabelas do padrão normal e fazendo a aritmética "à mão".

$2$. Suponha que usemos a hipótese alternativa um pouco menos natural$p>1/2$. E se$p=1/2$, a probabilidade de $490$ ou mais é sobre $0.00421$. Assim, novamente no$1$% de nível de significância, rejeitaríamos a hipótese nula, na verdade a rejeitaríamos mesmo se estivéssemos usando o nível de significância $0.005$.

Sempre é necessário estabelecer um nível de significância, pois é possível que uma moeda justa produza, digamos$550$ ou mais cabeças $900$ joga, ridiculamente improvável.

Se a moeda é imparcial, então a probabilidade de 'cabeças' é $\frac{1}{2}$. Portanto, o número de cabeças lançadas em 900 tentativas,$X$, tem um ${\rm Binomial}(900,\frac{1}{2})$distribuição sob a hipótese nula de uma moeda justa. Então o$p$-valor - a probabilidade de ver um resultado tão extremo ou mais extremo, dado que a moeda está longe, é

Se você procurar as duas faces $p$-valor, isso seria

Vou deixar para você descrever por que esse é o caso.

Sabemos que a função de massa para $Y \sim {\rm Binomial}(n,p)$, é

Vou deixar para você calcular $p$-valor que você procura.

Nota: O tamanho da amostra aqui é suficientemente grande para que você possa usar a aproximação normal da distribuição binomial. Eu detalhei acima como calcular o valor exato$p$-valor.

O exemplo da página da Wikipedia no Bayes Factor parece bastante relevante para a questão. Se tivermos dois modelos, M1, onde a moeda é exatamente imparcial (q = 0,5), e M2, onde a probabilidade de uma cabeça é desconhecida, então usamos uma distribuição anterior plana em 1. Em seguida, calculamos o fator bayes

$K = \frac{p(x=490|M_0)}{p(x=490|M_1)}$

Onde

$p(x=490|M1) = \mathrm{nchoosek}(900,490)\frac12^{900} = 7.5896\times10^{-4}$

e

$p(x=490|M2) = \int_0^1 \mathrm{nchoosek}(900,490)q^{490}(1-q)^{410}dq = \frac{1}{901}$

Dá um fator Bayes de $K \approx 1.4624$, que de acordo com a escala usual de interpretação "quase não vale a pena mencionar".

Observe, no entanto (i) o fator Bayes possui uma penalidade embutida no ocam que favorece modelos simples, e o M1 é muito mais simples, pois não possui parâmetros de incômodo, como o M2; (ii) um apartamento antes$q$não é fisicamente razoável, na prática uma moeda tendenciosa será quase justa, a menos que a moeda seja obviamente assimétrica; (iii) foi um dia longo e eu poderia facilmente ter cometido algum erro em algum lugar da análise, desde suposições a cálculos.

Observe que a moeda é tendenciosa se for um objeto físico, pois sua assimetria significa que não será exatamente tão provável que caia cara quanto coroa.

Sua pergunta pode ser tratada de várias maneiras diferentes.

O teste tradicional de hipóteses é projetado para descartar possibilidades, não necessariamente prová-las. Nesse caso, podemos usar$H_0: p=0.5$como a hipótese nula e veja se os dados (490 de 900 cabeças) podem ser usados ​​para rejeitar essa hipótese nula calculando um valor-p. Se o valor p for menor que$\alpha$ então rejeitamos o nulo, mas um valor p $>\alpha$ não significa que podemos dizer que os dados suportam o nulo, apenas que ele é consistente com a suposição de que o nulo é verdadeiro, mas, na verdade, o nulo pode ser falso, apenas a verdade é um valor de $p$ muito perto de $0.5$.

A abordagem de "equivalência" seria definir imparcialmente não como $p=0.5$ mas escolha uma pequena região em torno de 0,5 a ser considerada imparcial $0.5-\epsilon < p < 0.5+\epsilon$. Então, se o intervalo de confiança na proporção verdadeira estiver totalmente dentro do intervalo de equivalência de "imparcial", os dados apoiariam a hipótese de "imparcialidade".

Outra abordagem seria usar uma abordagem bayesiana onde começamos com uma distribuição anterior da proporção verdadeira $p$incluindo uma massa pontual em 0,5 e o restante do spread de probabilidade entre os valores possíveis. Em seguida, combine isso com os dados para obter uma posterior. Se o probiótico posterioun de$p=0.5$ é alto o suficiente para apoiar a alegação de ser imparcial.

E uma ilustração R:

Não se incomodando em aproximar pelo normal, podemos observar uma variável aleatória binomial distribuída com n = 900 ep = 0,5 sob a hipótese nula (ou seja, se a moeda não for imparcial, então p = probabilidade de cara (ou coroa) = 0,5).

Se quisermos testar a alternativa que Ha: p <> 0,5 em alfa 0,05, podemos observar as caudas da distribuição sob o nulo da seguinte forma e ver que 490 fica fora do intervalo {421, 479} e, portanto, rejeitamos Ho .

n<-900
p<-0.5
qbinom(c(0.025,0.975),size=n,prob=p)
# 421 479

Para esclarecer a abordagem bayesiana:

Você começa sem saber nada, exceto que P(Heads)está dentro [0,1]. Então comece com uma entropia máxima antes -> uniform(0,1). Isso pode ser representado como uma distribuição beta -> beta(1,1).

Cada vez que você joga a moeda, faça uma atualização bayesiana da moeda P(Heads)multiplicando cada ponto da distribuição pela probabilidade (multiplique xse você rolar cabeças, multiplique (1-x)se conseguir coroa) e re-normalize a probabilidade total de 1 Isso é o que a distribuição beta faz, portanto, se o primeiro rolo for cara, você terá beta(2,1). No seu caso você tem beta(490,510).

A partir daí, eu calcularia o intervalo de probabilidade de 95% e, se 0,5 não estiver nesse intervalo, começaria a suspeitar.

Na primeira vez em que fiz esse exercício, fiquei realmente surpreso com o tempo que levou para convergir ... Comecei porque alguém disse "se você jogar uma moeda 100 vezes, você sabe P(Heads)que +/- 1%" acaba sendo totalmente errado, você precisa de magnitudes superiores a 100 movimentos.

Hipótese nula, Ho: P = 0,5 (P = Q = 0,5)

H1: P> 0,5

onde P é o prob da ocorrência da cabeça.

sabemos z = (pP) / sqrt (PQ / N)

onde p = 490/900 = 0,54

Agora z = (0,54-0,5) / sqrt ((0,5 * 0,5) / 900)

z = 2

portanto, a 5% de LOS (ou seja, 1,64 <2) Ho é rejeitado

daqui a moeda é tendenciosa .....