Como o erro padrão de uma regressão linear é geralmente dado para a variável de resposta, estou pensando em como obter intervalos de confiança na outra direção - por exemplo, para uma interceptação x. Sou capaz de visualizar o que pode ser, mas tenho certeza de que deve haver uma maneira direta de fazer isso. Abaixo está um exemplo em R de como visualizar isso:

set.seed(1)
x <- 1:10
a <- 20
b <- -2
y <- a + b*x + rnorm(length(x), mean=0, sd=1)

fit <- lm(y ~ x)
XINT <- -coef(fit)[1]/coef(fit)[2]

plot(y ~ x, xlim=c(0, XINT*1.1), ylim=c(-2,max(y)))
abline(h=0, lty=2, col=8); abline(fit, col=2)
points(XINT, 0, col=4, pch=4)
newdat <- data.frame(x=seq(-2,12,len=1000))

# CI
pred <- predict(fit, newdata=newdat, se.fit = TRUE) 
newdat$yplus <-pred$fit + 1.96*pred$se.fit 
newdat$yminus <-pred$fit - 1.96*pred$se.fit 
lines(yplus ~ x, newdat, col=2, lty=2)
lines(yminus ~ x, newdat, col=2, lty=2)

# approximate CI of XINT
lwr <- newdat$x[which.min((newdat$yminus-0)^2)]
upr <- newdat$x[which.min((newdat$yplus-0)^2)]
abline(v=c(lwr, upr), lty=3, col=4)

Como calcular o intervalo de confiança da interceptação x em uma regressão linear?

Pressupostos

• Use o modelo de regressão simples .$y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$
• Erros têm distribuição normal condicional nos regressores$\epsilon | X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I_n)$
• Ajuste usando o mínimo quadrado comum

3 procedimentos para calcular o intervalo de confiança na interceptação x

• Expansão Taylor (fácil de usar)
• Marc in the box method (MIB)
• CAPITANI-POLLASTRI ( https://boa.unimib.it/retrieve/handle/10281/43053/64388/DECAPITANI_Pollastri.pdf )

Expansão de Taylor de primeira ordem

O seu modelo é com desvio padrão estimado e em e parâmetros e estimado covariância . Você resolve$Y=aX+b$$\sigma_a$$\sigma_b$$a$$b$$\sigma_{ab}$

Então o desvio padrão em é dado por:$\sigma_X$$X$

MIB

Veja o código de Marc na caixa em Como calcular o intervalo de confiança da interceptação x em uma regressão linear? .

CAPITANI-POLLASTRI

O CAPITANI-POLLASTRI fornece a função de distribuição cumulativa e a função de densidade para a razão de duas variáveis ​​aleatórias normais correlacionadas. Pode ser usado para calcular o intervalo de confiança da interceptação x em uma regressão linear. Este procedimento fornece resultados (quase) idênticos aos do MIB.

De fato, usando o quadrado mínimo ordinário e assumindo a normalidade dos erros, (verificado) e estão correlacionados (verificados).$\hat\beta \sim \mathcal{N}(\beta, \sigma^2 (X^TX)^{-1})$$\hat{\beta}$

O procedimento é o seguinte:

• obtenha o estimador OLS para e .$a$$b$
• obtenha a matriz variância-covariância e extraia .$\sigma_a, \sigma_b, \sigma_{ab}=\rho\sigma_a\sigma_b$
• Suponha que e sigam uma distribuição Normal Correlacionada Bivariada, . Então a função de densidade e a Função de distribuição cumulativa de são dadas por CAPITANI-POLLASTRI.$a$$b$$\mathcal{N}(a, b, \sigma_a, \sigma_b, \rho)$$x_{intercept}= \frac{-b}{a}$
• Use a Função de distribuição cumulativa de para calcular quantis desejados e defina um intervalo de confiança.$x_{intercept}= \frac{-b}{a}$

Comparação dos 3 procedimentos

Os procedimentos são comparados usando a seguinte configuração de dados:

• x <- 1:10
• a <- 20
• b <- -2
• y <- a + b * x + rnorm (comprimento (x), média = 0, sd = 1)

10000 amostras diferentes são geradas e analisadas usando os 3 métodos. O código (R) usado para gerar e analisar pode ser encontrado em: https://github.com/adrienrenaud/stackExchange/blob/master/crossValidated/q221630/answer.ipynb

• MIB e CAPITANI-POLLASTRI fornecem resultados equivalentes.
• A expansão de Taylor de primeira ordem difere significativamente dos dois outros métodos.
• MIB e CAPITANI-POLLASTRI sofrem de subcobertura. Verificou-se que o 68% (95%) ci contém o valor verdadeiro 63% (92%) do tempo.
• A expansão de primeira ordem de Taylor sofre de supercobertura. Verificou-se que o 68% (95%) ci contém o valor verdadeiro 87% (99%) do tempo.

Conclusões

A distribuição de interceptação x é assimétrica. Justifica um intervalo de confiança assimétrico. MIB e CAPITANI-POLLASTRI fornecem resultados equivalentes. Os CAPITANI-POLLASTRI têm uma boa justificativa teórica e fundamentam o MIB. O MIB e o CAPITANI-POLLASTRI sofrem de subcobertura moderada e podem ser usados ​​para definir intervalos de confiança.

Eu recomendaria iniciar os resíduos:

library(boot)

set.seed(42)
sims <- boot(residuals(fit), function(r, i, d = data.frame(x, y), yhat = fitted(fit)) {

  d$y <- yhat + r[i]

  fitb <- lm(y ~ x, data = d)

  -coef(fitb)[1]/coef(fitb)[2]
}, R = 1e4)
lines(quantile(sims$t, c(0.025, 0.975)), c(0, 0), col = "blue")

O que você mostra no gráfico são os pontos em que o limite inferior / superior da faixa de confiança das previsões cruza o eixo. Não acho que esses sejam os limites de confiança da interceptação, mas talvez sejam uma aproximação aproximada.