Intervalo de confiança para o qui-quadrado

Estou tentando encontrar uma solução para comparar dois testes de "qui-quadrado de qualidade de ajuste". Mais precisamente, quero comparar os resultados de duas experiências independentes. Nesses experimentos, os autores usaram o qui-quadrado de qualidade de ajuste para comparar estimativas aleatórias (frequências esperadas) com frequências observadas. Os dois experimentos tiveram o mesmo número de participantes e os procedimentos experimentais são idênticos, apenas os estímulos foram alterados. Os resultados de duas experiências indicaram um qui-quadrado significativo (exp. 1: X² (18) = 45; p <0,0005 e exp. 2: X² (18) = 79; p <0,0001).

Agora, o que eu quero fazer é testar se há uma diferença entre esses dois resultados. Penso que uma solução poderia ser o uso de intervalos de confiança, mas não sei como calcular esses intervalos de confiança apenas com esses resultados. Ou talvez um teste para comparar o tamanho do efeito (w de Cohen)?

Alguém tem uma solução?

Muito obrigado!

FD

A informação muito limitada que você possui é certamente uma restrição severa! No entanto, as coisas não são totalmente inúteis.

Sob as mesmas suposições que levam à distribuição assintótica do para a estatística de teste do teste de qualidade de ajuste com o mesmo nome, a estatística do teste sob a hipótese alternativa possui, assintoticamente, uma distribuição não central de χ 2 . Se assumirmos que os dois estímulos são a) significativos eb) têm o mesmo efeito, as estatísticas de teste associadas terão a mesma distribuição χ 2 assintótica não central . Podemos usar isso para construir um teste - basicamente, através da estimativa do parâmetro noncentrality λ e vendo se as estatísticas de teste são muito nas caudas da não central χ 2 ( 18 , λ$\chi^2$$\chi^2$$\chi^2$$\lambda$$\chi^2(18, \hat{\lambda})$distribuição. (Isso não quer dizer que este teste terá muito poder, no entanto.)

Podemos estimar o parâmetro de não centralidade, dadas as duas estatísticas de teste, calculando sua média e subtraindo os graus de liberdade (um estimador de métodos de momentos), fornecendo uma estimativa de 44 ou pela máxima probabilidade:

x <- c(45, 79)
n <- 18

ll <- function(ncp, n, x) sum(dchisq(x, n, ncp, log=TRUE))
foo <- optimize(ll, c(30,60), n=n, x=x, maximum=TRUE)
> foo$maximum
[1] 43.67619

Boa concordância entre nossas duas estimativas, o que não é surpreendente, dados dois pontos de dados e os 18 graus de liberdade. Agora, para calcular um valor-p:

> pchisq(x, n, foo$maximum)
[1] 0.1190264 0.8798421

Portanto, nosso valor-p é 0,12, insuficiente para rejeitar a hipótese nula de que os dois estímulos são iguais.

$\lambda$$\chi^2$$(\lambda-\delta, \lambda+\delta)$$\delta = 1, 2, \dots, 15$$\delta$ e veja com que frequência nosso teste rejeita, digamos, o nível de confiança de 90% e 95%.

nreject05 <- nreject10 <- rep(0,16)
delta <- 0:15
lambda <- foo$maximum
for (d in delta)
{
  for (i in 1:10000)
  {
    x <- rchisq(2, n, ncp=c(lambda+d,lambda-d))
    lhat <- optimize(ll, c(5,95), n=n, x=x, maximum=TRUE)$maximum
    pval <- pchisq(min(x), n, lhat)
    nreject05[d+1] <- nreject05[d+1] + (pval < 0.05)
    nreject10[d+1] <- nreject10[d+1] + (pval < 0.10)
  }
}
preject05 <- nreject05 / 10000
preject10 <- nreject10 / 10000

plot(preject05~delta, type='l', lty=1, lwd=2,
     ylim = c(0, 0.4),
     xlab = "1/2 difference between NCPs",
     ylab = "Simulated rejection rates",
     main = "")
lines(preject10~delta, type='l', lty=2, lwd=2)
legend("topleft",legend=c(expression(paste(alpha, " = 0.05")),
                          expression(paste(alpha, " = 0.10"))),
       lty=c(1,2), lwd=2)

que fornece o seguinte:

Olhando para os verdadeiros pontos de hipótese nulos (valor do eixo x = 0), vemos que o teste é conservador, pois não parece rejeitar tão frequentemente quanto o nível indicaria, mas não de maneira esmagadora. Como esperávamos, ele não tem muito poder, mas é melhor que nada. Gostaria de saber se existem testes melhores por aí, dada a quantidade muito limitada de informações que você tem disponível.

Você pode obter o V do Cramer, interpretável como uma correlação, convertê-lo em um Z de Fisher e, em seguida, o intervalo de confiança disso é direto (SE = 1 / sqrt (n-3): Z ± se * 1,96). Depois de obter as extremidades do IC, você pode convertê-las novamente em r.

Você já pensou em colocar todas as suas contagens em uma tabela de contingência com uma dimensão adicional do experimento?