Média da distribuição exponencial inversa

Dada uma variável aleatória , qual é a média e a variação de ?$Y = Exp(\lambda)$$G=\dfrac{1}{Y}$

Eu olho para a distribuição gama inversa, mas a média e a variação são definidas apenas para e respectivamente ...$\alpha>1$$\alpha>2$

Dado que a distribuição exponencial inversa tem , você se deparou com o fato de que a média da exponencial inversa é . E, portanto, a variação da exponencial inversa é indefinida.$\alpha = 1$$\infty$

Se é inversamente distribuído exponencialmente, existe e é finito para e para .E ( G r ) r < 1 = ∞ r = $G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

Mostrarei o cálculo da média de uma distribuição exponencial para que você se lembre da abordagem. Então, eu vou para o exponencial inverso com a mesma abordagem.

Dado$f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

Integrando por parte (ignore o na frente da integral no momento),$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

Multiplique pelo na frente da integral,$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

Avalie para e ,$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

Qual é um resultado conhecido.

Para , a mesma lógica se aplica.$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

A principal diferença é que, para uma integração por partes,

$u = y^{-1}$

e

$du = -1y^{-2}$

portanto, não nos ajuda com . Eu acho que a integral é indefinida aqui. O Wolfram alfa me diz que não converge.$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

Portanto, a média não existe para o Exponencial inverso ou, equivalente, para o Gamma inverso com . O motivo é semelhante para a variação e .$\alpha=1$$\alpha \gt 2$

Após uma simulação rápida (em R), parece que a média não existe:

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

Para fins de comparação, eis o que acontece com uma variável aleatória exponencial genuína.