Valor esperado vs. valor mais provável (modo)

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O valor esperado de uma distribuição $f(x)$ é a média, ou seja, o valor médio ponderado

E [x] = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

$E[x]=\int_{-\infty}^{+\infty} x \, \, f(x) dx$

O valor mais provável é o modo, que é o valor mais provável.

No entanto, esperamos ver muitas vezes? Citando aqui : $E[x]$

Se os resultados não forem igualmente prováveis, a média simples deverá ser substituída pela média ponderada, que leva em consideração o fato de que alguns resultados são mais prováveis que os outros. A intuição, no entanto, permanece a mesma: o valor esperado de é o que se espera que aconteça em média . $x_i$ $x$

Não consigo entender o que significa "acontecer em média", isso significa que, por exemplo, tomando uma medida muito tempo, espero ver mais do que outros valores de ? Mas não é essa a definição de modo? $E[x]$ $x$

Então, como interpretar a afirmação? E qual é o significado probabilístico de ? $E[x]$

Eu também gostaria de mostrar um exemplo em que fico confuso. Estudando a , aprendi que o modo é , enquanto , onde são os graus de liberdade de dados. $\chi^2$ $\chi^2_{mode}=\nu-2$ $E[\chi^2]=\nu$ $\nu$

Ouvi na universidade que, ao fazer um depois de usar o método dos mínimos quadrados para ajustar um conjunto de dados, eu esperava obter porque "é o que acontece em geral". $\chi^2$ $\chi^2 \approx \nu$

Eu não entendi tudo isso ou o valor esperado é de alguma forma muito provável? (Mesmo que o valor mais provável seja o modo)

— Sørën
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Eu realmente gosto do poder da metáfora de tickets-in-a-box para esta pergunta, porque ela produz uma resposta simples e clara: a expectativa de uma variável aleatória é a soma de seus valores (conforme desenhada nos tickets) dividida por a contagem dos ingressos. É isso aí. Qualquer afirmação que não siga essa definição (ou equivalentes matemáticos mais sofisticados) é apenas uma heurística e pode muito bem estar incorreta em algumas circunstâncias.

— whuber

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Para uma distribuição Normal, o valor esperado, também conhecido como média, é igual ao modo.

Em geral, não apenas o valor esperado não é apenas o mais provável (ou a maior densidade), mas também pode não ter chance de ocorrer. Por exemplo, considere a variável aleatória X que é igual a 0 ou 2, cada um com probabilidade 0,5. Então EX = 1, mas o valor esperado, 1, tem 0 de probabilidade de ocorrer, enquanto 0 e 2 são os dois modos da distribuição.

A citação "o valor esperado de x é o que se espera que aconteça em média" é a linguagem leiga não técnica, que, como é evidente pela sua confusão, serve apenas para confundir as coisas. O valor esperado tem um significado muito específico na probabilidade como sendo a média matemática. Enquanto na linguagem dos leigos, um valor esperado ou "em média" pode ser algo que normalmente ocorre. Eles podem ser reconciliados se "em média" for interpretado como sendo a média matemática do que ocorre.

Expectativamente seu,

Joe Average

— Mark L. Stone
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Começa a pergunta: e a mediana, que é garantida como possível ?

— estrela brilhante

Como o @TrevorAlexander disse, o modo também não oferece garantias. Considere o modo de distribuição contínua.

— Tim

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@ Trevor Alexander Sempre existe uma mediana possível (probabilidade ou densidade positiva). No entanto, nem todas as medianas são necessariamente possíveis. A mediana da variável aleatória X é qualquer ponto para o qual m

e

. Se X é igual a 1,2,3, ou 4, cada um com probabilidade 1/4, em seguida, qualquer número no intervalo [2,3] é uma mediana de X.

P (X \leq m) \geq 1 / 2

$P(X \le m) \ge 1/2$

P (X \geq m) \geq 1 / 2

$P(X \ge m) \ge 1/2$

— Mark L. Stone

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O valor esperado é a priori muito abstrato e não há razão para pensar que é o resultado mais provável; como outros já apontaram, é fácil construir variáveis aleatórias para as quais (e o mesmo com densidade se for contínuo)

P (X = E (X)) = 0 0

$P( X = E(X) ) = 0$

X

$X$

A única justificativa para o valor esperado, e a razão pela qual "esperamos vê-lo com frequência", é a Lei dos grandes números :

se você tiver variáveis independentes idênticas distribuídas , então $n$ $X_i$

\frac{X_{1} + \dots + X_{n}}{n} \to E (X)

$\frac {X_1 + \dots + X_n}{n} \to E(X)$

(para um significado adequado de que não faz sentido investigar no momento) $\to$

O que isso significa? Imagine que você joga uma moeda com probabilidade da cabeça de aterrissagem, que iremos associar ao número, e probabilidadeda cauda de aterrissagem (ou seja,). Qual é o resultado mais provável? 1! (isto é, cabeça) Qual é o valor esperado? $p> \frac 12$ $1$ $1-p$ $0$

E (X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p

$E(X) = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$

Agora claramente "p" nunca acontecerá (é cabeça ou cauda, 0 ou 1).

Mas lance a moeda 10.000 vezes e registre as vezes em que apareceu acima do número total de jogadas. Esse número captura o que pensamos intuitivamente sobre a média ("número médio de cabeças"). E a lei dos números grandes diz que esse número estará próximo de $E(X) = p$

— Formiga
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Eu não diria que a lei dos grandes números é a única justificativa para o valor esperado. Por exemplo, en.wikipedia.org/wiki/… é uma justificativa para considerar os valores esperados das funções de utilidade (não estudei a prova, mas fico surpreso se, de alguma forma, se basear na lei de grandes números).

— Juho Kokkala

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Não gosto do termo "valor esperado" e não o usei para ensinar probabilidade. "Média aritmética" é melhor, na minha opinião, porque a média aritmética de um dado de 6 lados é 3,5, mas esse número não ocorre. Eu ouvi originalmente o termo "valor da expectativa" para o conceito quando estava na faculdade. Muitos termos técnicos não concordam com o óbvio significado não técnico. ("Ou" vem à mente.)

Observe que uma distribuição pode ter mais de um modo, mas a média aritmética é única. Modo, média e mediana são diferentes e têm usos diferentes.

— ttw
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Nice no "ou". Isso me fez pensar no meu curso de Programação Linear, no qual estudamos vários Teoremas da Alternativa. Eles tinham a forma "Ou A é verdadeiro ou B é verdadeiro, mas não ambos". É muito mais fácil expressá-lo como A xor B. Não ouço muito o uso de xor em conversas casuais nas ruas.

— Mark L. Stone

2

A diferença é mais fácil de ver com distribuições discretas:

Considere dois conjuntos de valores em que cada número tem a mesma probabilidade de ser desenhado: {1,2,2,2,10} e {1,2,2,2,3}.

Ambos têm o mesmo modo (2), mas os valores esperados diferem. O valor esperado coloca peso extra em valores grandes, enquanto o modo simplesmente procura qual valor ocorre com frequência. Portanto, se você desenhar nessa distribuição várias vezes, a média da amostra ficaria próxima do valor esperado, enquanto o número inteiro mais comum a ocorrer seria o próximo ao modo.

$mode=arg{\max{f(x)}}$ $x*f(x)$

O uso da linguagem para distinguir entre diferentes medidas de tendência central é um problema comum ao aprender estatística. Por exemplo, a mediana é outra medida que não é distorcida por valores grandes, como a média.

— VCG
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