Localizando o PDF dado o CDF

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Como posso encontrar o PDF (função de densidade de probabilidade) de uma distribuição, considerando o CDF (função de distribuição cumulativa)?

distributions pdf cdf

— Mehper C. Palavuzlar
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Não sei se entendi a dificuldade. Se a forma funcional é conhecida, basta pegar a derivada, caso contrário, pegue as diferenças. Estou faltando alguma coisa aqui?

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Eu estou supondo que a pergunta é sobre caso multivariado.

— user1700890

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Como o usuário28 disse nos comentários acima, o pdf é a primeira derivada do cdf para uma variável aleatória contínua e a diferença para uma variável aleatória discreta.

No caso contínuo, sempre que o cdf tiver uma descontinuidade, o pdf terá um átomo. Dirac delta "funções" podem ser usadas para representar esses átomos.

— Paulo
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Não é um livro on-line agradável por Pishro-Nik aqui mostrando isso de forma mais explícita.

— gwr

Existe algo semelhante para o caso multivariado? (Encontrei a resposta aqui na página 9).

f (x) = \frac{\partial^{n} F (x)}{\partial x_{1} \dots \partial x_{n}}

$f(\mathbf x) = \frac{\partial^n F(\mathbf x)}{\partial x_1 \dots \partial x_n}$

— minner

Você se importaria em dar um exemplo de que um CDF tem uma descontinuidade?

— whnlp 27/09

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Seja denotado o cdf; sempre é possível aproximar o pdf de uma variável aleatória contínua calculando que e estão nos dois lados do ponto em que você deseja saber o pdf e a distânciaé pequeno. $F(x)$

\frac{F (x_{2}) - F (x_{1})}{x_{2} - x_{1}},

$\frac{F(x_2) - F(x_1)}{x_2 - x_1},$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

| x_{2} - x_{1} |

$|x_2 - x_1|$

— seancarmody
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É o mesmo que usar a derivada, mas apenas mais imprecisa. Por que você faria isso?

— Matti Pastell

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Essa seria a abordagem quando o CDF é aproximado apenas empiricamente. No entanto, ele fornece estimativas ruins do PDF.

— shabbychef

Dados os valores percentuais do CDF, existe uma maneira melhor de calcular o PDF a partir desses valores discretos?

— bicepjai

Nesse caso, todos os x de x1 a xn são classificados primeiro em uma ordem crescente, de modo que seja sempre xn> x (n-1)> x (n-2)>… ..x3> x2> x1?

— Eric

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Diferenciar o CDF nem sempre ajuda, considere a equação:

 F(x) = (1/4) + ((4x - x*x) / 8)    ...    0 <= x < 2,

Diferenciando você terá:

((2 - x) / 4)

substituindo 0 nele, obtém o valor (1/2) que está claramente errado, como P (x = 0) está claramente (1/4).

Em vez disso, o que você deve fazer é calcular a diferença entre F (x) e lim (F (x - h)), pois h tende a 0 do lado positivo de (x).

— Soham Chakradeo
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