Comparando abordagens de estimativas MLE de uma distribuição Weibull

Eu preciso parametrizar uma distribuição Weibull para alguns dados. Portanto, eu uso a Estimativa de Máxima Verossimilhança (MLE) do pacote fitdistrplus em R. No entanto, eu queria entender o que é feito no pacote, portanto, além de usar o pacote, tentei duas soluções manuais para verificar as propriedades do MLE fornecidas por fitdist.

Resumindo, minhas abordagens são:

(i) Use a função fitdist com o método "MLE"

(ii) Resolva as derivadas parciais da função de probabilidade

(iii) Minimize a probabilidade negativa usando a função otim

Primeiro, simule alguns dados:

n <- 1e4    
set.seed(1) 
dat <- rweibull(n, shape=0.8, scale=1.2)

Abordagem 1: aplique o pacote fitdistrplus:

library(fitdistrplus)
A1 <- fitdist(dat, "weibull", method="mle")$estimate
A1
    shape     scale 
0.7914886 1.2032989

Abordagem 2:

Tendo como densidade Weibull

$f (x) = \ frac {c} {\ alpha} \ left (\ frac {x} {\ alpha} \ right) ^ {c-1} exp \ left (- \ left (\ frac {x} {\ alfa} \ direita) ^ c \ direita)$ ,

os derivados parciais são:

$\ hat {\ alpha} = \ left (\ frac {1} {n} \ sum ^ {n} _ {i = 1} x ^ {\ hat {c}} _ i \ right) ^ {\ frac {1} {c}} \\ \ bigskip \\ \ frac {1} {\ hat {c}} = \ frac {\ sum ^ {n} _ {i = 1} x ^ {\ hat {c}} _ i \ ln x_i} {\ sum ^ {n} _ {i = 1} x ^ {\ hat {c}} _ i} - \ frac {1} {n} \ sum ^ {n} _ {i = 1} \ ln x_i$

Pesquise as raízes das derivadas parciais acima:

weib1 <- function(c) { 1/c - sum(dat^c*log(dat))/sum(dat^c) + 1/n*sum(log(dat)) }
shape <- uniroot(weib1, c(0,10), tol=1e-12)$root  
scale <- (1/n*sum(dat^shape))^(1/shape)
A2    <- c(shape, scale)
A2
[1] 0.7914318 1.2033179

Abordagem 3: procure os parâmetros que minimizam a probabilidade de log negativa:

fobj <- function(params){
  -sum(log(dweibull(dat, params[1], params[2])))
}
A3 <- optim(c(0.5, 1), fobj)$par
A3
[1] 0.7913756 1.2032748

Comparando as abordagens, as estimativas dos parâmetros (A1, A2, A3) diferem na quarta casa decimal. Considerando a documentação do fitdist, eu esperava que A1 e A3 produzissem as mesmas estimativas, pois ambos usam otim.

Portanto, minhas perguntas são:

Qual é a função objetivo usada pelo fitdist e como eu poderia mudar a abordagem 3 para produzir exatamente as mesmas estimativas que o fitdist? E, em geral, qual seria a abordagem preferida, suponho que resolver as derivadas parciais é a abordagem mais limpa?

maximum-likelihood fitting weibull

— Philip
fonte

A estimativa do parâmetro Weibull é normalmente feita com algoritmos relacionados à descida do gradiente. Até onde eu sei, a maioria dos pacotes implementa isso fazendo uma transformação em escala de local e executando o procedimento na probabilidade de log Gumbel resultante.

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— ragulpr
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