Intuição para Expectativa Condicional de -algebra

Seja um espaço de probabilidade, dada uma variável aleatória e um -algebra podemos construir uma nova variável aleatória , que é a expectativa condicional.$(\Omega,\mathscr{F},\mu)$$\xi:\Omega \to \mathbb{R}$$\sigma$$\mathscr{G}\subseteq \mathscr{F}$$E[\xi|\mathscr{G}]$

Qual é exatamente a intuição para pensar em ? Entendo a intuição para o seguinte:$E[\xi|\mathscr{G}]$

(i) onde é um evento (com probabilidade positiva).$E[\xi|A]$$A$

(ii) onde é uma variável aleatória discreta.$E[\xi|\eta]$$\eta$

Mas não consigo visualizar . Entendo a matemática e entendo que é definido de maneira a generalizar os casos mais simples que podemos visualizar. Mas, no entanto, não acho útil esse modo de pensar. Continua sendo um objeto misterioso para mim.$E[\xi|\mathscr{G}]$

Por exemplo, seja um evento com . Formar o -álgebra , aquele gerado por . Então seria igual a se e igual a se . Em outras palavras, se e se \ omega \ em A ^ c .$A$$\mu(A)>0$$\sigma$$\mathscr{G} = \{ \emptyset, A, A^c, \Omega\}$$A$$E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$$\frac{1}{\mu(A)} \int_A \xi$$\omega \in A$$\frac{1}{\mu(A^c)} \int_{A^c} \xi$$\omega \not \in A$$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|A]$$\omega\in A$$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|A^c]$$\omega \in A^c$

A parte que é confusa é essa $\omega \in \Omega$ , então por que não escrevemos apenas $E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|\Omega] = E[\xi]$ ? Por que substituímos $E[\xi|\mathscr{G}]$ por $E[\xi| A\text{ or } A^c]$ dependendo se $\omega\in A$ , mas não tem permissão para substituir $E[\xi|\mathscr{G}]$ por $E[\xi]$ ?

Nota. Ao responder a essa pergunta, não explique isso usando a definição rigorosa de expectativa condicional. Eu entendi aquilo. O que eu quero entender é o que a expectativa condicional deve estar calculando e por que rejeitamos um no lugar do outro.

Uma maneira de pensar na representação condicional é como uma projeção no -algebra .$\sigma$$\mathscr{G}$

( do Wikimedia commons )

Isso é realmente rigoroso quando se fala em variáveis ​​aleatórias integráveis ​​em quadrados; neste caso, é na verdade a projeção ortogonal da variável aleatória no subespaço de consiste em variáveis ​​aleatórias mensuráveis ​​em relação a . E, de fato, isso acaba sendo verdade, em certo sentido, para variáveis ​​aleatórias via aproximação por variáveis ​​aleatórias .ξ L 2 ( Ω ) G L 1 L $\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\xi$$L^2(\Omega)$$\mathscr{G}$$L^1$$L^2$

(Veja os comentários para referências.)

Se considerarmos álgebras como representando quanta informação temos disponível (uma interpretação que é rigorosa na teoria dos processos estocásticos), álgebras maiores significam mais eventos possíveis e, portanto, mais informações sobre possíveis resultados, enquanto menores álgebras significam menos eventos possíveis e, portanto, menos informações sobre possíveis resultados.σ - σ $\sigma-$$\sigma-$$\sigma-$

Portanto, projetando a -mensurável variável aleatória para os menores álgebra significa tomar o nosso melhor palpite para o valor de dada a informação mais limitada disponível a partir de . ξ σ - G ξ $\mathscr{F}$$\xi$$\sigma-$$\mathscr{G}$$\xi$$\mathscr{G}$

Em outras palavras, dadas apenas as informações de , e não todas as informações de , em sentido rigoroso, nosso melhor possível suposição sobre qual é a variável aleatória .F E [ ξ | G ] $\mathscr{G}$$\mathscr{F}$$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\xi$

Com relação ao seu exemplo, acho que você pode estar confundindo variáveis ​​aleatórias e seus valores. Uma variável aleatória é uma função cujo domínio é o espaço de eventos; não é um número. Em outras palavras, , enquanto que para um , .X : Ω → R X ∈ { f | f : ohms → R } ω ∈ ohms X ( ω ) ∈ $X$$X: \Omega \to \mathbb{R}$$X \in \{f\ |\ f: \Omega \to \mathbb{R} \}$$\omega \in \Omega$$X(\omega)\in\mathbb{R}$

A notação para expectativa condicional, na minha opinião, é muito ruim, porque é uma variável aleatória em si, ou seja, também uma função . Por outro lado, a expectativa (regular) de uma variável aleatória é um número . A expectativa condicional de uma variável aleatória é uma quantidade totalmente diferente da expectativa da mesma variável aleatória, ou seja, nem sequer "verifica o tipo" com .E [ ξ $\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\mathbb{E}[\xi]$

Em outras palavras, usar o símbolo para denotar expectativas normais e condicionais é um abuso muito grande de notação, o que leva a muita confusão desnecessária.$\mathbb{E}$

Tudo isso dito, observe que é um número (o valor da variável aleatória avaliada no valor ), mas é uma variável aleatória, mas acaba sendo uma variável aleatória constante (ou seja, degenerada trivial), porque a -algebra gerado por , é trivial / degenerado e, tecnicamente, o valor constante dessa variável aleatória constante é , onde aquiE$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ω E [ ξ | Ω ] σ Ω { ∅ , Ω } E [ ξ ] $\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\omega$$\mathbb{E}[\xi|\Omega]$$\sigma$$\Omega$$\{ \emptyset, \Omega\}$$\mathbb{E}[\xi]$$\mathbb{E}$ denota expectativa regular e, portanto, um número, não expectativa condicional e, portanto, não é uma variável aleatória.

Além disso, você parece estar confuso sobre o que significa a notação ; tecnicamente falando, só é possível condicionar em álgebras , não em eventos individuais, uma vez que medidas de probabilidade são definidas apenas em álgebras completos , e não em eventos individuais. Assim, é apenas uma abreviação (preguiçosa) para , onde representa a álgebra pelo evento , que é . Observe que ; em outras palavras, ,σ - σ - E [ ξ | A ] E [ ξ | σ ( A ) ] σ ( A ) $\mathbb{E}[\xi|A]$$\sigma-$$\sigma-$$\mathbb{E}[\xi|A]$$\mathbb{E}[\xi|\sigma(A)]$$\sigma(A)$A { ∅ , A , A c , Ω } σ ( A ) = G = σ ( A c ) E [ ξ | A ] $\sigma-$$A$$\{ \emptyset, A, A^c, \Omega\}$$\sigma(A) = \mathscr{G} = \sigma(A^c)$$\mathbb{E}[\xi|A]$E [ ξ | A c$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$ e são maneiras diferentes de indicar exatamente o mesmo objeto .$\mathbb{E}[\xi|A^c]$

Finalmente, só quero acrescentar que a explicação intuitiva que dei acima explica por que o valor constante da variável aleatória é apenas o número - a álgebra representa a menor quantidade possível de informações que poderíamos ter, de fato, essencialmente, nenhuma informação; portanto, sob essa circunstância extrema, o melhor palpite possível sobre qual variável aleatória é a variável aleatória constante cujo valor constante é .E [ ξ ] σ - { ∅ , Ω } ξ E [ ξ $\mathbb{E}[\xi|\Omega]=\mathbb{E}[\xi|\sigma(\Omega)]= \mathbb{E}[\xi| \{ \emptyset, \Omega\}]$$\mathbb{E}[\xi]$$\sigma-$$\{ \emptyset, \Omega\}$$\xi$$\mathbb{E}[\xi]$

Observe que todas as variáveis ​​aleatórias constantes são variáveis ​​aleatórias e são todas mensuráveis ​​em relação ao trivial -algebra ; portanto, de fato, temos essa constante aleatória é a projeção ortogonal de no subespaço de consiste em variáveis ​​aleatórias mensuráveis ​​em relação a , como foi reivindicado. σ { ∅ , Ω } E [ ξ ] ξ G 2 ( Ω ) { ∅ , Ω $L^2$$\sigma$$\{\emptyset, \Omega\}$$\mathbb{E}[\xi]$$\xi$$L^2(\Omega)$$\{\emptyset, \Omega\}$

Vou tentar elaborar o que William sugeriu.

Seja o espaço de amostra para jogar uma moeda duas vezes. Defina a execução. var. para ser o num. de cabeças que ocorrem no experimento. Claramente, . Uma maneira de pensar o que , como uma expectativa. value, representa é a melhor estimativa possível para . Se tivéssemos que adivinhar qual seria o valor , adivinharíamos . Isso ocorre porque para qualquer número real .ξ E [ ξ ] = $\Omega$$\xi$$E[\xi] = 1$ξ ξ 1 E [ ( ξ - 1 ) 2 ] ≤ E [ ( ξ - um ) 2 ] $1$$\xi$$\xi$$1$$E[(\xi - 1)^2] \leq E[(\xi - a)^2]$$a$

Indique por como o evento em que o primeiro resultado é um cabeçalho. Seja seja o -alg. gen. por . Pensamos em como representando o que sabemos após o primeiro lançamento. Após o primeiro lançamento, as cabeças ocorreram ou as cabeças não ocorreram. Portanto, estamos no evento ou após o primeiro lançamento.G = { ∅ , A , A c , Ω } σ A G A A $A = \{ HT, HH \}$$\mathscr{G} = \{ \emptyset, A, A^c, \Omega\}$$\sigma$$A$$\mathscr{G}$$A$$A^c$

Se estamos no evento , a melhor estimativa possível para seria , e se estivermos no evento , a melhor estimativa possível para seria .ξ E [ ξ | A ] = 1,5 A c ξ E [ ξ | A c ] = $A$$\xi$$E[\xi|A] = 1.5$$A^c$$\xi$$E[\xi|A^c] = 0.5$

Agora defina a execução. var. para ser ou , dependendo ou não . Isso correu. var. , é uma aproximação melhor que desde .1,5 $\eta(\omega)$$1.5$$0.5$η 1 = E [ ξ ] E [ ( ξ - η ) 2 ] ≤ E [ ( ξ - 1 ) 2$\omega\in A$$\eta$$1 = E[\xi]$$E[(\xi - \eta)^2] \leq E[(\xi -1)^2]$

O que está fazendo é fornecer a resposta para a pergunta: qual é a melhor estimativa do após o primeiro lance? Desde que não sabemos a informação após o primeiro lance, dependerá . Depois que o evento é revelado, após o primeiro lançamento, o valor de é determinado e fornece a melhor estimativa possível para . ξ η A G η $\eta$$\xi$$\eta$$A$$\mathscr{G}$$\eta$$\xi$

O problema de usar como sua própria estimativa, ou seja, é o seguinte. não está bem definido após o primeiro lançamento. Digamos que o resultado do experimento seja com o primeiro resultado sendo o principal, estamos no evento , mas o que éNão sabemos desde o primeiro lance que esse valor é ambíguo para nós e, portanto, não está bem definido. Mais formalmente, dizemos que não é ou seja, seu valor não está bem definido após o primeiro lançamento. Portanto, é a melhor estimativa possível de0 = E [ ( ξ - ξ ) 2 ] ≤ E [ ( ξ - η ) $\xi$ξ ω A ξ ( ω ) = ? ξ ξ G η $0=E[(\xi - \xi)^2] \leq E[(\xi - \eta)^2]$$\xi$$\omega$$A$$\xi(\omega)=?$$\xi$$\xi$$\mathscr{G}$$\eta$$\xi$ após o primeiro lançamento.

Talvez alguém aqui possa criar um exemplo mais sofisticado usando o espaço de amostra , com e algum trivial não-trivial .ξ ( ω ) = ω G$[0,1]$$\xi (\omega) = \omega$$\mathscr{G}$$\sigma$

Embora você solicite não usar a definição formal, acho que a definição formal é provavelmente a melhor maneira de explicá-la.

Wikipedia - expectativa condicional :

Em seguida, uma expectativa condicional de X dado , denotada como é qualquer Função mensurável ( ) que satisfaz: E(X∣ H ) H Ω→ R $\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$$\displaystyle \scriptstyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$$\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$$\displaystyle \scriptstyle \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$

$\displaystyle \int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\;dP=\int _{H}X\;dP\qquad {\text{for each}}\quad H\in {\mathcal {H}}$

Primeiramente, é uma função mensurável . Em segundo lugar, ele deve corresponder à expectativa de todos os (sub) conjuntos mensuráveis ​​em . Portanto, para um evento, A, a álgebra sigma é ; portanto, é claramente definida como você especificou na sua pergunta para . Da mesma forma, para qualquer variável aleatória discreta (e combinações delas), listamos todos os eventos primitivos e atribuímos a expectativa, dado esse evento primitivo.H {A,AC,∅,Ω}ω∈A/A$\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$$\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$$\{A,A^C,\emptyset, \Omega\}$$\omega \in A/A^c$

Agora considere jogar uma moeda um número infinito de vezes, onde a cada sorteio você recebe , se sua moeda é coroa, então o seu total de ganhos é onde = 1 para caudas e 0 para cabeças. Então X é uma variável aleatória real em . Após n arremessos de moedas, você sabe o valor de X com precisão ; por exemplo, após 2 arremessos de moedas, ele fica em [0,1 / 4], [1 / 4,1 / 2], [1/2, 3/4] ou [3 / 4,1] - após cada sorteio, a álgebra sigma associada está ficando cada vez mais fina e, da mesma forma, a expectativa condicional de X está ficando cada vez mais precisa. X = Σ ∞ i = 1$1/2^i$ci[0,1]1/2$X=\sum _{i=1}^\infty \frac{1}{2^i}c_i$$c_i$$[0,1]$$1/2^n$

Esperamos que este exemplo de uma variável aleatória com valor real com uma sequência de álgebras sigma cada vez mais refinadas (Filtração) afaste você da intuição puramente baseada em eventos a que está acostumado e esclareça seu objetivo.