Cálculo da expectativa condicional em álgebras

Eu realmente não vi nenhum livro de probabilidades calcular expectativa condicional, exceto as $\sigma$ álgebras geradas por uma variável aleatória discreta. Eles simplesmente afirmam a existência de expectativa condicional, juntamente com suas propriedades, e deixam assim. Acho isso um pouco perturbador e estou tentando encontrar um método para calculá-lo. É isso que eu acho que "deveria ser".

Seja $(\Omega, \mathscr{F},\mu)$ um espaço de probabilidade com $\mathscr{G}\subseteq \mathscr{F}$ a $\sigma$ álgebra. Seja $\xi:\Omega\to \mathbb{R}$ uma variável aleatória. Nosso objetivo é calcular $E[\xi|\mathscr{G}]$ .

Corrija , precisamos calcular . Deixe ser tal . A intuição diz que $\omega\in \Omega$ $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $A\in \mathscr{G}$ $\omega\in A$ é uma aproximação ao valor de, desde que, obviamente,que assumimos agora. $E[\xi|A] = \frac1{\mu(A)}\int_A \xi$ $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $\mu(A) \not = 0$

A intuição também diz que, se pudermos encontrar um evento menor , com e , então é uma melhor aproximação de que . $B\subseteq A$ $\omega\in B$ $\mu(B) \not = 0$ $E[\xi|B]$ $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $E[\xi|A]$

Daí a ótima aproximação de deve ser onde , com , e com a propriedade mínima . A propriedade mínimo aqui é simplesmente se com , então . $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $E[\xi|M]$ $M\in \mathscr{G}$ $\omega\in M$ $A\in \mathscr{G}$ $\omega\in A$ $M\subseteq A$

Mas há dois problemas:

(i) Esse existe mesmo? Se é no máximo contável, isso é trivialmente verdadeiro. Assim, vamos assumir que é realmente contável. $M$ $\mathscr{G}$ $\mathscr{G}$

(ii) E se , então está indefinido! Neste caso, assumiremos que podemos produzir uma sequência de eventos , de modo que e . $\mu(M) = 0$ $E[\xi|M]$ $M_n\in \mathscr{G}$ $M_n \downarrow M$ $\mu(M_n) > 0$

A intuição diz que,

E [ξ | G] (ω) = lim_{n \to \infty} \frac{1}{μ (M_{n})} \int_{M_{n}} ξ = lim_{n \to \infty} \frac{1}{μ (M_{n})} \int_{Ω} ξ . 1_{M_{n}}

$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\mu(M_n)}\int_{M_n}\xi =\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\mu(M_n)}\int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M_n}$

Como verificação da realidade, o Teorema da Convergência Monótona implica: Continuidade em medida implica, Assim, a nossa limite é de forma indeterminada "

\int_{Ω} ξ . 1_{M_{n}} \to \int_{Ω} ξ . 1_{M} = \int_{Ω} 0 0 = 0 0

$\int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M_n} \to \int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M} = \int_{\Omega} 0 = 0$

μ (M_{n}) \to μ (M) = 0

$\mu(M_n) \to \mu(M) = 0$

", que é o que queremos.

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

1) Esse cálculo computará corretamente a expectativa condicional?

2) Quais são algumas das suposições sobre o espaço de probabilidade para que isso ocorra?

— Nicolas Bourbaki
fonte

Além disso: É um teorema bem conhecido que nenhuma álgebra sigma é contável; portanto, seu (i) precisa de alguma revisão, pois está basicamente assumindo a finitude de

| G |

$|\mathcal{G}|$

— cardeal

@ cardinal O

álgebra gerado por uma variável aleatória simples será contável.

σ

$\sigma$

— Nicolas Bourbaki

álgebra de uma variável aleatória simples será finito, o que, em conjunto com o resultado mencionado acima, simplifica significativamente o seu (i).

σ

$\sigma$

— cardeal

Você deve olhar para o paradoxo borel

— b Kjetil Halvorsen

Isso não responde à pergunta, mas fornece uma espécie de "contra-exemplo". Não é bem assim, mas trata de um problema em potencial que pode ocorrer ao usar sua intuição para aproximar a aproximação condicional.

O livro de Brezniak, "Processos estocásticos básicos", calcula o seguinte exercício de expectativa condicional por meio da definição formal. Refiz o exemplo dele usando o 'método de aproximações', conforme solicitado no post original.

Considere o seguinte exemplo. com da medida padrão de Lebesgue. $\Omega = [0,1]$ $\mu$

Defina as variáveis aleatórias, e . Vamos calcular . Dado , a expectativa condicional deve ser igual a $\xi(\omega) = 2\omega^2$ $\eta(\omega) = 1 - |2\omega - 1|$ $E[\xi|\eta]$ $\omega\in \Omega$ $E[\xi|\eta](\omega)$ . No entanto, o evento é o conjunto , que é da medida zero e, portanto, é indefinido. $E[\xi|\eta = \eta(\omega)]$ $(\eta = \eta(\omega))$ $\{ \omega,1-\omega\}$ $[\xi|\eta = \eta(\omega)]$

Então, vamos aproximar o evento . Escolha um pequeno e construa o evento . Os eventos aproximam-se de e se aproximam de no limite à medida que diminuímos o . Além disso, $A=\{\omega,1-\omega\}$ $\varepsilon > 0$ $A_{\varepsilon} = [\omega - \varepsilon,\omega + \varepsilon] \cup \{ 1 - \omega \}$ $A_{\varepsilon}$ $A$ $A$ $\varepsilon$ . $\mu(A_{\varepsilon}) = 2\varepsilon$

Calculamos, no limite, Mas esta é a resposta errada!

E [ξ | A_{ε}] = \frac{1}{2 ε} \int_{ω - ε}^{ω + ε} 2 t^{2} d t \to 2 ω^{2}

$E[\xi|A_{\varepsilon}] = \frac{1}{2\varepsilon} \int_{\omega - \varepsilon}^{\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt \to 2\omega^2$

No entanto , se aproximarmos por , então, $B_{\varepsilon} = [\omega - \varepsilon,\omega + \varepsilon] \cup [1- \omega - \varepsilon,1-\omega + \varepsilon]$ Qual é a resposta certa!

E [ξ | B_{ε}] = \frac{1}{4 ε} {\int_{ω - ε}^{ω + ε} 2 t^{2} d t + \int_{1 - ω - ε}^{1 - ω + ε} 2 t^{2} d t} \to ω^{2} + (1 - ω)^{2}

$E[\xi|B_{\varepsilon}] = \frac{1}{4\varepsilon} \left\{ \int_{\omega - \varepsilon}^{\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt + \int_{1-\omega - \varepsilon}^{1-\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt \right\} \to \omega^2 + (1-\omega)^2$

Por que uma abordagem funciona e a outra não? Claramente, na primeira aproximação, os conjuntos de aproximação não pertenciam à álgebra gerada por . Na segunda aproximação, os conjuntos de aproximação pertenciam a . $A_{\omega}$ $\sigma$ $\xi$ $B_{\omega}$ $\sigma(\xi)$

— Nicolas Bourbaki
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