Testando a suposição de riscos proporcionais em modelos paramétricos

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Estou ciente de testar a suposição de riscos proporcionais no contexto dos modelos Cox PH, mas não encontrei nada relacionado a modelos paramétricos? Existe uma maneira viável de testar a suposição de PH de certos modelos paramétricos?

Parece que deve ser dado que os modelos paramétricos são apenas ligeiramente diferentes dos modelos semi-paramétricos de Cox?

Por exemplo, se eu quisesse ajustar uma curva de mortalidade de Gompertz (como abaixo), como testaria a suposição de PH?

\begin{aligned} μ_{x} & = a b e^{a x + β Z} \\ H_{x} (t) & = \int_{0}^{t} μ_{x + t} d t = b (e^{a t} - 1) e^{a x + β Z} \\ S_{x} (t) & = exp (- H_{x} (t)) \end{aligned}

$\begin{align} \mu_{x}&=abe^{ax+\beta Z}\\ H_{x}(t)&=\int_{0}^{t}\mu_{x+t}\,dt=b(e^{at}-1)e^{ax+\beta Z}\\ S_{x}(t)&=\text{exp}(-H_{x}(t)) \end{align}$

Suponho, em geral, o que estou perguntando: para modelos de sobrevivência paramétricos, quais são algumas maneiras de avaliar a qualidade do ajuste do modelo e também testar as suposições (se houver) do modelo?

Preciso verificar as suposições de PH em um modelo paramétrico ou isso é apenas para modelos de Cox?

survival assumptions proportional-hazards

— Ed P
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Uma resposta completa depende da natureza do seu modelo de sobrevivência paramétrico.

Se o seu modelo paramétrico incorpora covariáveis de uma maneira que os riscos relativos para quaisquer 2 conjuntos de covariáveis estejam em uma proporção fixa ao longo do tempo (como parece o modelo de Gompertz), então o seu modelo paramétrico está fazendo uma suposição implícita de riscos proporcionais que deve ser validada de uma maneira ou de outra. Como esta resposta de @CliffAB aponta para o risco de linha de base específico assumido por um modelo paramétrico:

um modelo Cox-PH se encaixa em um modelo com A) riscos proporcionais e B) qualquer distribuição da linha de base. Se o melhor ajuste com os requisitos de A) riscos proporcionais e B) qualquer linha de base for um ajuste inadequado, o modelo será com A) riscos proporcionais e B) uma linha de base muito específica.

Isso sugere que você tente primeiro uma regressão de sobrevivência Cox para testar a proporcionalidade dos perigos. Se a suposição for violada com o risco empírico da linha de base determinado pela regressão de Cox, há pouco sentido em prosseguir com qualquer modelo paramétrico que implicitamente assuma riscos proporcionais. Se você pode prosseguir com esse modelo paramétrico, o survivalpacote R fornece vários tipos de resíduos para avaliar modelos paramétricos com o residuals()método de survregobjetos, além das sugestões feitas pelo @Theodor.

Se, alternativamente, o seu modelo incorporar algumas covariáveis de uma maneira que ofereça riscos não proporcionais em função de valores de covariáveis (por exemplo, diferentes formas de risco da linha de base), não será necessário testar especificamente os riscos proporcionais com relação a essas covariáveis. A estratificação dessas covariáveis permitiria testes de riscos proporcionais para covariáveis que se supõe envolverem riscos proporcionais. Obviamente, você precisará testar se os dados se encaixam nas suposições do seu modelo, mas na medida em que riscos proporcionais não são assumidos (explícita ou implicitamente), eles não precisam ser testados.

Para mais informações, as Estratégias de Modelagem de Regressão de Harrell dedicam o capítulo 18 à construção e avaliação de modelos de sobrevivência paramétricos; Uma cobertura mais enigmática, porém útil, deste tópico pode ser encontrada em exemplos trabalhados em suas notas de curso disponíveis gratuitamente .

— EdM
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Obrigado pela sua resposta. Sim, no meu modelo de Cox, os riscos são proporcionais. Tentei usar a função survreg (), mas infelizmente meus dados estão truncados à esquerda e o survreg () não pode manipular objetos Surv () com truncamento.

— Ed P

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Uma maneira fácil é comparar um modelo com um efeito covariável fixo, , com um modelo estendido com um efeito dependente do tempo , com um formulário de função flexível - por exemplo, usando splines. $\beta$ $\beta(t)$

Se a proporcionalidade se mantiver, então , e os dois modelos seriam praticamente indistinguíveis. Se a proporcionalidade não se mantiver, o modelo com efeito dependente do tempo deve fornecer um ajuste significativamente melhor. $\beta(t) \equiv \beta$

editar: Na maioria das vezes, ter uma linha de base paramétrica não muda muito as coisas em termos de suposições. Como em qualquer modelo paramétrico, para testar as suposições do modelo, você deve especificar uma possível saída das suposições do modelo.

Uma das suposições mais fortes de um modelo de risco proporcional é a suposição de riscos proporcionais; em particular, isso significa que o efeito das covariáveis é constante no tempo. A idéia é que você aninhe o modelo em um modelo mais geral e compare os ajustes.

Portanto, para responder à sua pergunta: você também precisa verificar as suposições de PH nos modelos paramétricos. As formas gráficas (gráficos de log-log) devem funcionar da mesma forma que no modelo de Cox. Os métodos baseados em resíduos também devem funcionar, mas não tenho muita certeza disso (tenho certeza de que os métodos de martingale funcionam, pois toda a teoria se aplica também aos modelos paramétricos).

— Theodor
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Então, o que você está dizendo é que, se um modelo paramétrico como o Gompertz for usado, é necessário testar a proporcionalidade das covariáveis (como no cenário de Cox PH)?

— Ed P

editado para melhorar a clareza

— Theodor