A distribuição para o produto Kronecker de dois vetores aleatórios uniformes na esfera unitária?

Suponha que dois vetores aleatórios e sejam distribuídos uniformemente na esfera unitária . É possível demonstrar que o produto de Kronecker de e é uniformemente distribuído sobre um subconjunto da esfera unidade ?$x$$y$$S_{n-1}$$x$$y$$S_{n-1}\otimes S_{n-1}$

Sim. Isso fica claro ao trabalhar com as definições.

O produto Kronecker

A esfera unitária é o conjunto de vetores de unidades no espaço euclidiano onde é a norma euclidiana.$S^{n-1}$$E^n = \left(\mathbb{R}^n, ||\cdot ||\right)$

$$||(x_1,x_2,\ldots,x_n)^\prime|| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$$

O "produto Kronecker" é o produto tensorial usual. Existem várias maneiras de pensar e calcular com ele. Um é defini-lo como uma matriz$n\times n$

$$x \otimes y = x\, y^\prime = \pmatrix{x_1y_1 & x_1y_2 & \cdots & x_1y_n \\ x_2y_1 & x_2y_2 & \cdots & x_2y_n \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_ny_1 & x_ny_2 & \cdots & x_ny_n} \in \operatorname{Mat}\left(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n\right).$$

Outra maneira equivalente desvenda os componentes dessa matriz em um vetor com componentes, permitindo visualizar como um elemento de . Observe que a métrica euclidiana para pode ser escrita$n^2$$x\otimes y$$\mathbb{R}^{n^2}$$\mathbb{R}^{n^2}$

$$||Z||^2 = \operatorname{Tr}( Z Z^\prime ).\tag{1}$$

Ambas são maneiras de escrever a soma dos quadrados de todos os componentes.$n^2$

O produto Kronecker é compatível com as métricas euclidianas de e no sentido de que$E^n$$E^{n^2}$

$$||x \otimes y||^2 = ||x||^2\,||y||^2.$$

Isso é facilmente demonstrado, porque o lado esquerdo é definido como a soma dos quadrados de todos os enquanto o lado direito é o produto de suas somas de quadrados. Apenas expanda esse produto:$x_i y_j$

$$||x \otimes y||^2 = \sum_i\sum_j (x_iy_j)^2 = \left(\sum_i x_i^2\right)\left(\sum_j y_j^2\right) = ||x||^2\,||y||^2.$$

Em particular, quando e têm comprimento unitário, possui comprimento unitário. Portanto$x$$y$$x \otimes y$

$$S^{n-1}\otimes S^{n-1} \subset S^{n^2-1}.$$

Distribuições uniformes

As esferas euclidianas herdam uma medida da medida usual nos espaços euclidianos (a medida de Lebesgue, determinada em última análise pela distância euclidiana). Essa medida é preservada por qualquer isometria de uma esfera, porque (por definição) uma isometria preserva distâncias e a medida é finalmente determinada por distâncias. O grupo de isometrias da esfera unitária em é denotado , o grupo ortogonal. É um resultado clássico, e direto para mostrar, que consiste nas transformações lineares representadas por todas as matrizes para as quais .$\mathbb{R}^m$$O(m)$$m\times m$$P$$PP^\prime = P^\prime P = \mathbb{I}_m$

O grupo ortogonal atua transitivamente em . (Aqui está uma prova de Euclides poderia ter feito: pegar quaisquer dois pontos distintos e na esfera Desenhe o segmento de linha. entre eles Ela determina uma perpendicular hyperplane única para. que passa pelo ponto médio de A reflexão em que os mapas hiperplano. para si e preserva todas as distâncias, onde é em . isso reflexão trocas de e , que mostra que existe uma transformação ortogonal envio de para ).$O(n)$$S^{n-1}$$x$$y$$xy$$xy$$xy$$S^{n-1}$$O(n)$$x$$y$$x$$y$

Dizer que "os vetores são distribuídos uniformemente em " significa que a distribuição é invariável sob um grupo transitivo de isometrias como .$S^{n-1}$$O(n)$

Aqui está o argumento: o "hypertorus" desfruta de um grupo transitivo de isometrias isomórficas para um quociente de . De fato, dado um arbitrários e outro , escolha para o qual e . Seja qualquer matriz e defina$S^{n-1}\otimes S^{n-1} \subset S^{n^2-1}$$O(n)\times O(n)$$x\otimes y\in S^{n-1}$$x_2\otimes y_2\in S^{n-1}$$P,Q\in O(n)$$Px=x_2$$Qy=y_2$$Z=(z_{ij})$$n\times n$

$$(P\otimes Q)(Z) = PZQ^\prime.\tag{2}$$

Esta é uma isometria porque, usando a fórmula ,$(1)$

$$\eqalign{ ||(P \otimes Q) (Z)||^2 &= \operatorname{Tr}\left((PZQ^\prime)(PZQ^\prime)^\prime\right) = \operatorname{Tr}\left(PZ Z^\prime P^\prime\right) = \operatorname{Tr}\left(PP^\prime Z Z^\prime \right) = \operatorname{Tr}\left(ZZ^\prime \right) \\ &= ||Z||^2.}$$

Estes passos explorada a ortogonalidade de e e o facto de para quaisquer matrizes quadrados e .$P$$Q$$\operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA)$$A$$B$

Como as isometrias de induzem um grupo transitivo de isometrias de via , a distribuição uniforme (ou seja, invariável ao grupo) em é mapeado para uma distribuição uniforme em , QED .$S^{n-1}$$S^{n-1}\otimes S^{n-1}$$(2)$$S^{n-1}$$S^{n-1}\otimes S^{n-1}$

Enquanto e são independentes, então o que você diz é verdade.$x$$y$

É mais fácil pensar em ângulos em vez de pontos no espaço.

Por exemplo, na esfera 2-D em , podemos gerar pontos uniformemente na superfície dessa esfera, amostrando e independentemente de e considerando-os como zênite e azimute, respectivamente.$\mathbb R^3$$\theta_1$$\theta_2$$U[0,2\pi]$

Assim, podemos pensar em como e como . O KP deles é então e fica claro a partir da construção que segue uma distribuição uniforme também.$x$$(\theta_1,...,\theta_{n-1}) \sim U[0,2\pi]^{n-1}$$y$$(\phi_1,...,\phi_{n-1}) \sim U[0,2\pi]^{n-1}$$(\theta_1,...,\theta_{n-1},\phi_1,...,\phi_{n-1})$$U[0,2\pi]^{2n-2}$