Momento finito

Se que o suporte de é . Então, . Então diga que eu suponho que tenha momentos finitos. Quando , eu sei que os meios de onde é a densidade associado de . Qual o equivalente matemático de assumir tem momentos finitos quando ? $X \sim F$ $X$ $\mathbb{R}^p$ $X = (X_1, X_2, \dots, X_p)$ $X$ $k$ $p = 1$

\int_{R} x^{k} f (x) d x < \infty,

$\int_{\mathbb{R}} x^k\, f(x)\, dx < \infty,$

f (x)

$f(x)$

F

$F$

X

$X$

k

$k$

p > 1

$p > 1$

Em este link, na página 2, os autores definem o th momento como ondeé a norma euclidiana. $k$

E ‖ X ‖^{k} = \int ‖ X ‖^{k} f (x) d x,

$E\|X\|^k = \int \|X\|^k f(x) \, dx,$

‖ \cdot ‖

$\| \cdot\|$

A resposta de Glen_b aqui sugere que o ésimo momento seria $k$

\int x_{1}^{k} x_{2}^{k} \dots x_{p}^{k} f (x) d x .

$\int x_1^kx_2^k \dots x_p^k \, f(x) dx.$

Assumir que um é finito implica que o outro é finito?

— Greenparker
fonte

Você já viu esse idioma usado para algum lugar? Essencialmente, para os momentos serão ordem dos tensores. Portanto, para você tem um vetor médio, para , uma matriz de (co) variância; para você teria um tensor de "skewness" de ordem de e assim por diante. (Assumindo momentos em torno da média, para .)

p > 1

$p>1$

p > 1

$p>1$

k_{t h}

$k_{th}$

k = 1

$k=1$

k = 2

$k=2$

k = 3

$k=3$

3_{r d}

$3_{rd}$

k > 1

$k>1$

— GeoMatt22

@ GeoMatt22 Isso está correto. Sim, eu vi o idioma usado. Por exemplo, aqui eles falam sobre momentos finitos de um vetor aleatório.

2 + δ

$2 + \delta$

— Greenparker

Talvez o significado seja que todas as entradas do momento-tensor sejam finitas?

— GeoMatt22

@ Greenparker, você poderia citar essa passagem no texto? Não consigo encontrar.

— Ekvall

@ Student001 Opa, desculpe, link errado. Aqui está o link certo. Veja a declaração do Teorema 4, página 6.

— Greenparker

Respostas:

A resposta está no negativo, mas o problema pode ser resolvido.

Para ver o que está errado, deixe ter uma distribuição t de Student com dois graus de liberdade. Suas propriedades destacadas são que é finito, mas . Considere a distribuição bivariada de . Seja seu elemento de distribuição (que é singular: ele é suportado apenas na diagonal $X$ $\mathbb{E}(|X|)$ $\mathbb{E}(|X|^2)=\infty$ $(X,X)$ $f(x,y)dxdy$ $x=y$ ) Ao longo da diagonal, , de onde $||(x,y)||=|x|\sqrt{2}$

E (| | (X, X) | |^{1}) = E (\sqrt{2} | X |) < \infty

$\mathbb{E}\left(||(X,X)||^1\right) = \mathbb{E}\left(\sqrt{2}|X|\right) \lt \infty$

enquanto que

\iint x^{1} y^{1} f (x, y) d x d y = \int x^{2} f (x, x) d x = \infty .

$\iint x^1 y^1 f(x,y) dx dy = \int x^2 f(x,x) dx = \infty.$

Cálculos análogos nas dimensões devem deixar claro que $p$

\int \dots \int | x_{1} |^{k} | x_{2} |^{k} \dots | x_{p} |^{k} f (x_{1}, \dots, x_{p}) d x_{1} \dots d x_{p}

$\int\cdots\int |x_1|^k|x_2|^k\cdots |x_p|^k f(x_1,\ldots, x_p)dx_1\cdots dx_p$

realmente é um momento de ordem , não . Para mais informações sobre momentos multivariados, consulte Let seja um vetor aleatório. São considerados os momentos de ? . $pk$ $k$ $\mathbf{Y}$ $k$ $\mathbf{Y}$

Para descobrir quais devem ser as relações entre os momentos multivariados e os momentos da norma, precisaremos de duas desigualdades. Seja qualquer vetor dimensional e seja números positivos. Escrever para a sua soma (implicando $x=(x_1, \ldots, x_p)$ $p$ $k_1, k_2, \ldots, k_p$ $k=k_1+k_2+\cdots k_p$ $k_i/k \le 1$ para todos ). Seja qualquer número positivo (na aplicação, para a norma euclidiana, mas acontece que não há nada de especial no valor ). Como é habitual, escreva $i$ $q \gt 0$ $q=2$ $2$

| | x | |_{q} = {(\sum_{Eu} | x_{Eu} |^{q})}^{1 / q} .

$||x||_q = \left(\sum_i |x_i|^q\right)^{1/q}.$

Primeiro, vamos aplicar a desigualdade AM-GM aos números não negativos com pesos . Isso afirma que a média geométrica ponderada não pode exceder a média aritmética ponderada: $|x_i|^q$ $k_i$

{(\prod_{Eu} (| x_{Eu} |^{q})^{k_{Eu}})}^{1 / k} \leq \frac{1}{k} \sum_{Eu} k_{Eu} | x_{Eu} |^{q} .

$\left(\prod_i (|x_i|^q)^{k_i}\right)^{1/k} \le \frac{1}{k}\sum_i k_i|x_i|^q.$

Superestime o lado direito substituindo cada por e tome a potência de ambos os lados: $k_i/k$ $1$ $k/q$

\begin{matrix} (1) & \prod_{Eu} | x_{Eu} |^{k_{Eu}} = {({(\prod_{Eu} (| x_{Eu} |^{q})^{k_{Eu}})}^{1 / k})}^{k / q} \leq {(\sum_{Eu} | x_{Eu} |^{q})}^{k / q} = | | x | |_{q}^{k} . \end{matrix}

$\prod_i |x_i|^{k_i} = \left(\left(\prod_i (|x_i|^q)^{k_i}\right)^{1/k}\right)^{k/q} \le \left(\sum_i |x_i|^q\right)^{k/q} = ||x||_q^k.\tag{1}$

Agora vamos superestimar substituindo cada termo pelo maior entre eles, : $||x||_q$ $|x_i|^q$ $\max(|x_i|^q) = \max(|x_i|)^q$

| | x | |_{q} \leq {(\sum_{Eu} max (| x_{Eu} |^{q}))}^{1 / q} = {(p max (| x_{Eu} |)^{q})}^{1 / q} = p^{1 / q} max (| x_{Eu} |) .

$||x||_q \le \left(\sum_i \max(|x_i|^q)\right)^{1/q} = \left(p \max(|x_i|)^q\right)^{1/q} = p^{1/q} \max(|x_i|).$

Tomando poderes produz $k^\text{th}$

\begin{matrix} 2) & | | x | |_{q}^{k} \leq p^{k / q} max (| x_{Eu} |^{k}) \leq p^{k / q} \sum_{Eu} | x_{Eu} |^{k} . \end{matrix}

$||x||_q^k \le p^{k/q} \max(|x_i|^k) \le p^{k/q} \sum_i |x_i|^k.\tag{2}$

Por uma questão de notação, escreva

μ (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{p}) = \int \dots \int | x_{1} |^{k_{1}} | x_{2} |^{k_{2}} \dots | x_{p} |^{k_{p}} f (x) d x .

$\mu(k_1,k_2,\ldots,k_p) = \int\cdots \int |x_1|^{k_1}|x_2|^{k_2}\cdots|x_p|^{k_p} f(x)\,dx.$

Este é o momento da ordem $(k_1,k_2,\ldots,k_p)$ (e a ordem total ). Ao integrar aginst , a desigualdade estabelece $k$ $f$ $(1)$

\begin{matrix} (3) & μ (k_{1}, \dots, k_{p}) \leq \int \dots \int | | x | |_{q}^{k} f (x) d x = E (| | X | |_{q}^{k}) \end{matrix}

$\mu(k_1,\ldots,k_p) \le \int\cdots\int ||x||_q^k f(x)\,dx = \mathbb{E}(||X||_q^{k})\tag{3}$

e a desigualdade fornece $(2)$

\begin{matrix} 4) & E (| | X | |_{q}^{k}) \leq p^{k / q} (μ (k, 0 0, \dots, 0 0) + μ (0 0, k, 0 0, \dots, 0 0) + \dots + μ (0 0, \dots, 0 0, k)) . \end{matrix}

$\mathbb{E}(||X||_q^{k})\le p^{k/q}\left(\mu(k,0,\ldots,0) + \mu(0,k,0,\ldots,0) + \cdots + \mu(0,\ldots,0,k)\right).\tag{4}$

$k^\text{th}$ $(3)$ $(4)$

$k^\text{th}$ $\mathbb{E}(||X||_q^{k})$
$\mathbb{E}(||X||_q^{k})$ $\mu(k_1,\ldots,k_p)$ $k_1+\cdots +k_p=k$

$k$ $k$

Portanto,

$q \gt 0$ $k^\text{th}$ $L_q$ $\mathbb{E}(||X||_q^{k})$ $k$

— whuber
fonte

Momentos mais altos devem ser considerados como tensores e, portanto, normas de tensores.

— Henry.L

@ Henry Você poderia explicar como e por que isso seria uma consideração aplicável neste tópico?

— whuber

Olá, veja a minha resposta abaixo.

— Henry.L

A resposta do @whuber está correta e bem composta.

Eu escrevi esse tópico apenas para explicar por que esse problema pode ser melhor abordado na linguagem dos tensores. Eu pensava anteriormente que o ponto de vista do tensor é amplamente aceito na comunidade de estatísticas, agora eu sei que esse não é o caso.

$\boldsymbol{X}=(X_{1},\cdots X_{p})$ $\kappa^{i,j}=E(X_{i}-EX_{i})(X_{j}-EX_{j})$ $Y_{r}=\boldsymbol{A}_{r}\boldsymbol{X}+b_{r}$ $\boldsymbol{Y=AX+b})$ $Y_{r},Y_{s}$

κ^{r, s} = \frac{\partial Y_{r}}{\partial X_{Eu}} \frac{\partial Y_{s}}{\partial X_{j}} κ^{Eu, j}

$\kappa^{r,s}=\frac{\partial Y_{r}}{\partial X_{i}}\frac{\partial Y_{s}}{\partial X_{j}}\kappa^{i,j}$

L^{p}

$L^{p}$

Quanto à razão pela qual devemos adotar essa visão, a história é muito mais longa, mas segue-se um breve comentário.

A referência clássica ao estabelecer essa visão é [McCullagh] e, posteriormente, trabalhos dispersos na literatura de "aprendizado de máquina". Mas a origem de tal visão é realmente perseguida muito antes nas obras bayesianas [Jeffereys]. Essa visão definitivamente ajuda na visualização e provavelmente motivou algumas pesquisas em análise estatística de formas, como os primeiros trabalhos de Mardia.

$\blacksquare$

[McCullagh] http://www.stat.uchicago.edu/~pmcc/tensorbook/ch1.pdf

Jeffreys, Harold. Tensores cartesianos. Cambridge University Press, 1931.

— Henry.L
fonte