Da distribuição uniforme à distribuição exponencial e vice-versa

Esta é provavelmente uma questão trivial, mas minha busca foi infrutífera até agora, incluindo este artigo wikipedia , e o "Compêndio de Distribuições" documento .

Se tem uma distribuição uniforme, significa que segue uma distribuição exponencial?$X$$e^X$

Da mesma forma, se segue uma distribuição exponencial, significa que segue uma distribuição uniforme?$Y$$ln(Y)$

Não é o caso que a exponenciação de uma variável aleatória uniforme fornece uma exponencial, nem o registro de uma variável aleatória exponencial produz um uniforme.

Seja $U$ uniforme em $(0,1)$ e seja $X=\exp(U)$ .

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

Então .$f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

Esta não é uma variável exponencial. Um cálculo semelhante mostra que o log de um exponencial não é uniforme.

Seja exponencial padrão, então F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = 1 - e - $Y$ .$F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

Vamos . Então F V ( v ) = P ( V ≤ v ) = P ( ln Y ≤ v ) = P ( Y ≤ e v ) = 1 - e - e $V=\ln Y$ .$F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

Isto não é uniforme. (De fato é uma variável aleatória distribuída por Gumbel , então você pode chamar a distribuição de V de 'Gumbel invertido'.)$-V$$V$

No entanto, em cada caso, podemos vê-lo mais rapidamente, simplesmente considerando os limites das variáveis ​​aleatórias. Se é uniforme (0,1), fica entre 0 e 1, então X = exp ( U ) fica entre 1 e e ..., portanto, não é exponencial. Da mesma forma, para Y exponencial, ln Y está ativado ( - ∞ , ∞ ) , de modo que não pode ser uniforme (0,1), nem mesmo qualquer outro uniforme.$U$$X=\exp(U)$$1$$e$$Y$$\ln Y$$(-\infty,\infty)$

Também poderíamos simular e novamente vê-lo imediatamente:

Primeiro, exponenciando um uniforme -

[a curva azul é a densidade (1 / x no intervalo indicado) que trabalhamos acima ...]

Segundo, o log de um exponencial:

O que podemos ver está longe de ser uniforme! (Se diferenciarmos o cdf que elaboramos antes, o que daria a densidade, ele corresponderá à forma que vemos aqui.)

De fato, o método inverso cdf indica que tomar o negativo do logaritmo de uma variável uniforme (0,1) fornece uma variável exponencial padrão e, inversamente, exponenciar o negativo de uma exponencial padrão dá um uniforme. [Veja também transformação integral de probabilidade ]

$U=F_Y(Y)$$Y = F^{-1}(U)$$U$$F_Y$

Se deixarmos ser uniforme (0,1), então P ( U ≤ u ) = u . Seja Y = - ln ( 1 - U ) . (Observe que 1 - U também é uniforme em (0,1), então você pode realmente deixar Y = - ln U , mas estamos seguindo o método inverso do cdf aqui por completo)$U$$P(U\leq u) = u$$Y=-\ln (1-U)$$1-U$$Y=-\ln U$

Então , o que é o cdf de um exponencial padrão.$P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

[Essa propriedade da transformação inversa de cdf é o motivo pelo qual a transformação de é realmente necessária para obter uma distribuição exponencial, e a transformação integral de probabilidade é o motivo pelo qual a exponenciação do negativo de um exponencial negativo volta a um uniforme.]$\log$

Você quase tem de volta para a frente. Você perguntou:

• "Se tem uma distribuição uniforme, isso significa que e X segue uma distribuição exponencial?"$X$$e^X$

• "Da mesma forma, se segue uma distribuição exponencial, significa que ln ( Y ) segue uma distribuição uniforme?"$Y$$\ln(Y)$

De fato

• $X$$[0,1]$$-\log_e(X)$$1$
• $Y$$1$$e^{-Y}$$[0,1]$

Em geral, você poderia dizer:

• $X$$[a,b]$ then $-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$ follows an exponential distribution with rate parameter $k$
• if $Y$ follows an exponential distribution with rate parameter $k$ then $e^{-kY}$ has a uniform distribution on $[0,1]$ while $a+(b-a)e^{-kY}$ has a uniform distribution on $[a,b]$