Variáveis ​​aleatórias para as quais as desigualdades de Markov e Chebyshev são estreitas

Estou interessado em construir variáveis ​​aleatórias para as quais as desigualdades de Markov ou Chebyshev são pequenas.

Um exemplo trivial é a seguinte variável aleatória.

$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$ . Sua média é zero, a variação é 1 e . Para esta variável aleatória, chebyshev é apertado (vale com igualdade).$P(|X| \ge 1) = 1$

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

Existem variáveis ​​aleatórias mais interessantes (não uniformes) para as quais Markov e Chebyshev são justos? Alguns exemplos seriam ótimos.

A classe de distribuições para a qual o caso limitante do limite de Chebyshev se mantém é bem conhecida (e não é tão difícil de adivinhar). Normalizado para localização e escala, é

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

Essa é (em escala) a solução dada na página da Wikipedia para a desigualdade de Chebyshev .

[Você pode escrever uma sequência de distribuições (colocando mais probabilidade no centro com o mesmo removido uniformemente dos pontos finais) que satisfazem estritamente a desigualdade e abordam esse caso limitador o mais próximo possível.]$\epsilon>0$

Qualquer outra solução pode ser obtida pela localização e escala de desvios deste: Let .$X=\mu+\sigma Z$

Para a desigualdade de Markov, deixeentão você tem probabilidade em 0 e em . (Pode-se introduzir aqui um parâmetro de escala, mas não um parâmetro de localização)$Y=|Z|$$1-1/k^2$$1/k^2$$k$

As desigualdades de momento - e de fato muitas outras desigualdades semelhantes - tendem a ter distribuições discretas como seus casos limitantes.

Acredito que conseguir uma distribuição contínua em todo o eixo real que segue exatamente o limite de Chebyshev pode ser impossível.

Suponha que a média e o desvio padrão de uma distribuição contínua sejam 0 e 1, ou faça-o através do redimensionamento. Então exija . Para simplificar, considere ; os valores negativos serão definidos simetricamente. Então o CDF da distribuição é . E assim o pdf, a derivada do cdf, é . Obviamente, isso deve ser definido apenas para por causa da descontinuidade. De fato, isso nem pode ser verdade em todos os lugares, ou a integral do pdf não é finita. Em vez disso, se for necessário evitar descontinuidades (por exemplo, o pdf cat seja apenas 0 para ), o pdf deverá ser por partes, igual a para$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$$x>0$$1-1/x^2$$2/x^3$$x>0$$\mid x \mid <\alpha$$\mid x \mid^3$$\mid x\mid \geq \alpha$ .

No entanto, essa distribuição falha na hipótese - ela não apresenta variação finita. Para obter uma distribuição contínua sobre o eixo real com uma variação finita, os valores esperados de e devem ser finitos. Examinando polinômios inversos, caudas que se parecem com levam a um finito , mas a um indefinido, porque isso envolve uma integral com o comportamento assaroticamente do logaritmo.$x$$x^2$$x^{-3}$$E[x]$$E[x^2]$

Portanto, o limite de Chebychev não pode ser satisfeito exatamente. Entretanto, você pode exigir para arbitrariamente pequeno . A cauda do pdf é semelhante a e possui uma variação definida na ordem de .$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$$\epsilon$$x^{-(3+\epsilon)}$$1/\epsilon$

Se você deseja deixar a distribuição viver apenas em parte da linha real, mas continuar sendo contínua, defina para funciona para e ou qualquer escala linear dela - mas isso é basicamente , o que não é muito abrangente. E é duvidoso que essa restrição ainda esteja alinhada com a motivação original.$pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$$\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ 0,887<| x| < $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ $0.887 < |x| < 1.39$